II. Qu'il y en a toujours une

65. Extension au cas de deux variables. — Les définitions et théorèmes qui précèdent s'étendent au cas de deux variables sans didiculté.

La définition des fonctions harmoniques est la même ; il suffit de remplacer les mots volume et surface par aire plane et contour.

Le théorème de Gauss pour une fonction harmonique devient :

la sphère a été remplacée par un cercle, sa surface par une circonférence, son aire ^tzt^ par la longueur 27:r de la circonférence, l'intégrale double I Vd(o par l'intégrale curviligne 1 Vds.

Les remarques sur les limites supérieure et inférieure des fonctions harmoniques se généralisent immédiatement et la modification, dans chaque cas, pour transposer les énoncés, est évidente.

Cependant les considérations faites dans le paragraphe 62 (II\ à propos des fonctions harmoniques à l'extérieur d'un domaine donné et à propos du potentiel newtonien, ne se généralisent pas. Cela tient à ce que le potentiel logarithmique ne s'annule» pas «l'infini comme le potentiel newtonien.

Voyons ce qui se passe, dans ce cas.

I la THEORIE BU POTENTIEL XEWTOSIEN

Soit un cantour plan C, i>ntuuré d'un cercle de tri'» graud i-iivon C ; COI) ml do ru us le putontiol loguritliinïqut' d'une certaine dtHiributittii linéaire de miitivre uttiraiite sur le cuntuur C et d'une certaine distribution sup4>rficïellc de matière dans l'aîre plane ([n'enlernie le contour C ; donnons ii g, h, g", h' des significations analogues îi celles qu'elles ont nu paragraphe 62- Enfin re])renons pour le potentiel logarithmit^ue les nolaliuus dunnécs an début de ce cours. On suit (|ue l'expression :

V — Mlog-!^,

tend vers zéro, quand ^s croit indéfiniment; si donc M est durèrent de zéro, V angnienlc indéfiniment et, sur le cercle C, [Vj est très grand quand le ravou de C'est très grand: faistMin grandir ce rayon indéliniuicnt, nous devons distinguer plnsirurs cas :

alors g' et 11' tendent vers — se et l'on a, dans tout Je domaine.

iilors g et ir tendent vers + ac et l'on a. dans tout le domaine,

Alors V s'annule à l'infini, on retombe dans le cas du potentiel tiewlonien et l'on a ii distinguer les tmis inégalités vues dans ce

66- Remarque sur le potentiel newtonieo. — Supposons que \' désigne, non ))aa une fonction harmonique, mais un potentiel newlonien de volume, .-l essuvoiis de reprendre les raisonnements faits ]»our établir le théorème de la moyenne. X.ius aurons :

dM /'-^V'W

dr ~ ',^r^

Supposons (jne le point soit intérieur aux musses iigissautos et que lu densité suit positive, alors on a :

iV < 0,

FOSCTtOS DE GREES ET PROBLÈME DE DIRICULET i^

^•X, par suite,

dM „

ou enfin :

On eu conclut qu*uu voisinage de O, V peut être inférieur à \q\ en tout cas, il ne se peut pas qu'il lui soit partout supérieur.

Bref, V peut avoir un maximum au sein des masses agissantes, mais il ne peut pas avoir de minimum.

Soient T le volume, S la surface limite, g et h le maximum et le minimum de V sur elle ; on a :

g > V >h sur S.

On est sur que l'on a, dans T :

mais on ne sait pas si Ton a :

67. Conséquences de la formule de Green. — Reportons-nous au paragraphe 19 et reprenons les notations de ce paragraphe. Nous vivons démontré en général la formule

(1)... r (UAV — VAU) dT = — Ç fu 4^^ V 4^Vla) ;

c/(T) J(S)\ du i\\\ j

les fonctions U et V et leurs dérivées doivent satisfaire, dans le volume T et sur la surface S, à certaines conditions de continuité que nous avons indiquées en établissant celte formule. Les

dérivées ^. — , — r- sont prises vers Tintérieur de la surface S. dn dn ^

Faisons quelques applications de cette formule.

1® Supposons que U soit une fonction harmonique et V le potentiel d'un volume attirant T' ; on a alors les relations suivantes :

AU = 0, à l'intérieur de T,

AV = 0, à l'extérieur de T,

AV = — 4"[JL, îi l'intérieur de T',

Il»

[jL désignant la densité de la matière attirante dans le volume T'; l'intégrale / (UAV — VAU)dT devient alors :

— 4^ / L[J^dT, ce qui peut se mettre sous la forme

— 4^1 Ldm,

en appelant dm == udT la quantité de matière contenue dans Télément dT. La formule (1) devient ainsi:

ce que Ton peut écrire, en donnant une autre forme au second membre,

Jis)\ dn dn /

la somme Y, portant sur toute la partie du volume T' comprise dans le volume T.

2" Supposons maintenant (jue, U désignant toujours une fonc-

Figr. «3.

tion Iiarm(>ni([ue, V désigne un potentiel de surface. Représentons le volume T d'intégration, la surface S qui le limite (fig. 43) et la surfacr attirante S', dont V est le potentiel. V(»yons ce que devient

roscTJoy de grées et problème de djrjciuet ii'>

alors la forniiile (1). Ses deux membres sont nuls si S' est tout entière extérieure à S. Mais supposons que S' coupe S; elle partage ainsi le volume T en deux autres T, et T, et la surface S en deux parties S^ et S^. Traçons deux surfaces S\ et S'^ de part et d'autre de S', parallèles h S' et très voisines d'elle. Le volume T est alors partage en trois parties :

T/ comprise entre S et S/ T'j comprise entre S et S', T" comprise entre les deux surfaces auxiliaires S\ et S',.

T" est une étroite bande dont le volume tend vers zéro ([uand les deux surfaces S', et S', tendent vers S'.

Appliquons la formule '1) à chacun des tronçons du volume f et aux portions de surfaces (jui limitent chacun dVux. Pour les

I^VAU — l'AV) dT est nulle; h's

intégrales doubles correspondantes sont donc nulles et Ton a

f (uJlL v«L).w+/- " (,:il vi!:)a„-o

*;aiS,b„\ dn i\n / J^A,s'ifli) \ dn dn /

et

/' /,, dV ., dr\ , ^ /• /., dV ,. dU\ , .^

^ïA^iBi) \ dn dn / ^'(AgS',n,) \ <bi dn /

Ajoutons et faisons passer dans le second membre les intégralos étendues it S', et S', ; il vient :

^1 S'j et S'j tendent vers S', b* premier membre lend vers / ; on a donc :

J \ dn dn / LJa.sjb, \ du (hi /

-'aiSjbA dn . chi / J

f . 1, . . dV dU . - ,

i-es aerivees — i — et — î — suivant la normale sont prises intrdn dn '

PoixcARÉ. Polent. Ncwt,

lit

iV'y rtléoniE ùV POTBMTIEl SBWTONIEX

rii'uiftiicnl aux volumes T', et T', : par cuuséqiiL-iit, diiiis le pre*^ niirr mcinhi-c do celte relation, elles sonl prises iiitêrieur<^mentfl lui volume T et diiiis le second exlérieureiuent au volume T".

Calculons maintenant )a limite de la somme des intégrales ds4 ce second membre.

Lu surface S

t ];i surla.

dV

donc un saut brusque quand on l'rnneliit cette snrl'ace ; qnant niO autres fonctions U, V, — j — , elles restent toutes continues. Appj

lona a la limite de —, — sur S', quand S', tond vers S' : et 3 1 dV dn ' ^ ' '^

limite de —; — sur S', quand 5'. tend vers S'. Enfin désignons leSa ''" dU di: '

limites de l', V, -j— par les mfmes lettres U, V, —; on a

ces deux nouvelles Intégrales sont étendues à la pinliiin de S'j comprise dans ï. Le sens de la normale dans — j — est celui qui ' vers S,. On a eue

(^) li"-/"

•'AfS'lBl

Le cbamp d'intégration pour ces di

dn

dernières intégrales i la portion de S' compris dans T. Le sens de la normal dans -î — est celui qui va vers S,. Additionnons les deux éeal tés (3] et (4) membre ii membre; les deux intégrales I V —, — ' se détruisent parce que les sens de la normale dans ces di intégrales sont inverses l'un de l'autre. U reste :

'UJ^^-^'^)

dn

Jn /

:fU|a+li) J«

et par conséquent, en vertu de la relation {2'

. ji) ,1,.,

FOSCTIOy DE GREEy ET PROBLÈME DE DIRICIILET l4:

Or appelons |jl la densité de la matière attirante en chaque point de S'; il résulte de la théorie des surfaces attirantes que, si Ton

désigne par — -. — la limite vers laquelle tend la dérivée prise suivant la normale extérieure quand on tend vers la surface par

l'extérieur et par — î — la limite de -^ — prise suivant la normale

* dni dn *

intérieure quand on tend vers la surface par l'intérieur, Ton a :

dV dV

dn^ dU)

On a donc ici

a + p = — 47:;jL.

Bref, la relation (5) donne :

C'est la même formule que dans le cas du potentiel de volume: on peut lui donner la même forme :

J(S)\ dn dn /

Cette formule s'étend donc à un potentiel de surface comme à un potentiel de volume; elle s'étend par suite au potentiel d'un ensemble de surfaces et de volumes attirants.

68. Cette formule s'applique encore si V désigne le potentiel d*une ligne attirante, de points attirants discrets ou d'un ensemble de volumes, de surfaces, de lignes et de points.

On peut donc énoncer en général le théorème suivant : Si U désigne une fonction harmonif/ue et V un potentiel neivtonien, on a la relation :

l'intégrale étant étendue à tous les éléments dto d'une surface ferntèe quelconque S et ILmU ne s étendant quaux masses situées à V intérieur du volume T limité par la surface S,

rlfl TRÈORIE DU POTElVrlEL .VBVTO.VTEV

Ce ihêorème constitue une forme nouvelle du théorème île Gri-eii.

Il est clair que le ihcorènie subsiste si V désigne lu somme d'un potentiel et d'une fonction harmonique,

La formule précédente se modifie si U et V désignent deux potentiels. Soit jj. la densité de la distribution des masses m qui engendrent le potentiel U et soit [i' la densité de lu distribution des masses m' qui engendrent V, on a :

= 47tS(m'U — mV;.

s'étendent nu potentiel logarithmique dans

ons toujours le m^me volume T lîniilé par S. Soient M ((ig. 44) un point variable (le S et M' un point fixe non situé sur S.

Knfin, soit U une fonction harmonique dons T; |,o.„„»

MM- = r

et consiilcron.s l'iiilégmle double étendua siul'acc S :

Si II- (n)iiit M' est extérieur il In surliiee S. dii , 1

■•rieur a In siirlace S.

raire M' es

r -V- /dw =

Si au contraire M' est intérieur ii S cl s! L' esl la valeur de| en ce point, on a ;

FONCTIOi\ DE GREEN ET PROBLÈME DE DIRJCIILET 1 19

du T

Les dérivées —j — • ^^~~j — sont prises ici, en chaque point de S,

saîvaut la normale extérieure.

Ces deux formules se déduisent de la formule (5) démontrée

dans le paragraphe précédent. Il suflitde remplacer V par — , c'està-dire de considérer V comme le potentiel newton ien d'une masse égale à l'unité située au point M\

Cette intégrale (6; a une très grande importance; elle permet, on le voit, de calculer la valeur U', en un point M' d'un volume T, d'une fonction U harmonique dans ce volume, pourvu que Ton

connaisse les valeurs de U et — j — sur la surface S qui limite T.

an *

Une formule analogue existe pour le cas du potentiel logarithmique dans le plan ; on a :

le facteur ^ — est remplacé par -^ — , le volume par une aire

plane, la surface par le contour qui limite cette aire et le potenlie] newtonien — par le potentiel logarîthmi([ue logl — ) .

70. Analogies avec la théorie des résidus de Cauchy. — On peut remarquer l'analogie de ce qui précède avec la théorie des résidus de Cauchy; la formule (7) dans le plan permet par exemple de retrouver le théorème des résidus.

Soit une aire plane S limitée par un contour C; plaçons-nous en coordonnées rectangulaires et soient x et y les coordonnées d'un point M. Considérons la variable complexe

z = X + iv

et soit f (z) une fonction de cette variable; si la foncti<»n f est holomorphe dans Taire S, on peut poser

f (z) = u + iT,

lio: THÉORIE DV POTE.\TlEr. .V£ «TO.V/ff.V

r et T étant des fonctions réelles des variables réelles x et y, et

Itm a :

en tout point de S;

iT =

eu «tulrc :

Soient maintenant M' un autre point du plan, \' et y' ses c données et / lu valeur de z en ce point; ou a :

(^)iisidérous la l'onction toi

i>n ■pcM po!

V n'est autre que lugl — jet \V est coumie V une l'onction réelle de X et y, si l'on suppose M' fixe.

Appelons enfin U' et T' les vali'urs en M' des fonctions liarmoniques l' et T; on a, en vertu de la formule (7j et en remplaçant l„B(±),„„-.„„cg„lV:

— /(v-^-'.-Sa..

(lela posé, revenons aux formules (8}; changeons d'axes de coordonnées en transportant les axes actuels parallèlement il euxint^mes en un point quelconque x^, Vg du plan, puis en les faisant Inurner d'un anjrle a; appelons ï et /, les nouvelles coordonnées, Us formules de transformation sont :