X :^ î cos ï — r, sin a + x, y = ; sin a + f, fos « + y
FOSCTIOS DE GREES ET PROBLEME DE DIRICIILET i M
et l'on voit sans peine, en tenant compte des formules (8), que l'on a :
Or)
Supposons par exemple ([ue nous prenions comme origine un
Kig. iJ.
point A tle la courbe C et comme axes la normale extérieure AX et la tangente AT en ce pcùnt (fig. 45\ On a alors :
As
(ir
lin
(IT (In
dT
ds
le sens positif de la tangente étant le sens des rotations inverses; prenons au contraire pour sens positif le sens des rotations directes, nous aurons :
dU ds
dT du
(lu (In
dT ds
lia THÉORIE OV POTENTIEL KEtrTOKtES
On dé m outre rail àp mènir les formules :
av d\V
ds ~ di> dV d\V
dn ~ tis
Les iiitégriilcs ^It) pi-uvfnl îdors s'ôeriro : 2iîU' =f;VdT — UdW)
2î:T'= fl— VdU— TdW).
ot-K deux intégrales curvilignes étant prises dans le sens dir£ (sens inverse des aiguilles d'une montre'. La fonction \V n'* |)iis unîl'iirme : mais les autres, V, V, T, sont miifurmes et 1' peut écrire :
J\ dï ^ — ['TdV
[Vdr= — [VdV
2i;i:' = — (TdV +Uil\V
2r.T' = fVaV — TJW,
In il irimlri
' part :
~''', ^dV + iJW
■1 )nii- suite
/' 1 1/>. ^^^, = y'— IMV + TdW — i ^TdV + UdW = 2i:T — i.2-i:'
= 2k(r' + rr-î =2iri-(z')
FOSCTION DE GREES ET PROBLEME DE DJRICtlLET l55
d'où enfin :
C'est le théorème des résidus de Caucliy.
Ce théorème n'est vrai que si le point M' est intérieur au contour C; les formules (9), de même, ne peuvent s'appliquer que dans ce cas.
71. Définition de la fonction de Green. — Soient un volume T limité par une surface fermée S et M' un point situé h l'intérieur de T.
Supposons que l'on puisse trouver une fonction II satisfaisant aux conditions suivantes :
1® Elle est harmonique dans T,
2oOna:n = — — sur S,
r désignant la distance du point fixe M' (x', j-', z') au point variable M (x, y, z).
La fonction II étant obtenue, posons :
G = II-h — • r
La fonction G ainsi définie est la fonction de Green relative au volume T et au point M'.
Cette fonction s'annule sur S et satisfait a l'équation de I.aplace en tout point du volume T, sauf au point M' où elle devient infinie.
La fonction de Green que nous venons de définir est relative il un volume limité et correspond au problème de Dirîchlet intérieur. On peut de même définir la fonction de Green correspondant au problème de Dirichlet extérieur.
Soient toujours S une surface fermée et T l'espace situé à l'extérieur de cette surface . Soient , en outre , M' un point iixe du domaine T et M un point variable ; appelons r la distance MM'.
Supposons que l'on puisse trouver une fonction H satisfaisant aux conditions suivantes :
ri/t:onn: uv pori:yTit:i. .\ic\yroyjF..
V H est hiuiuoiii.iuo tliiiis 1.- .li-nKiIno T.
J-On il ; H =— ^ sur S.
;t" La loiiclioii II s'annule ii linlinî.
Il étant nlilenue, posons i
