G=: II + -L
La t'onction G uinsî dérniic pst la fonction de Green relative au |)uint M' ot au domaine T. Rllu s'annule sur S, devieut infinie
Y en M' mais satisfait à l'équation de Lniihire en tout autre point Je T.
Quelque soit I.- d.iuialne T, la lonetion G est une roiiclion des
(coordonnées x. y, z du point variable M ; mais elle dépend îuissÏ 'iea coordonnées x', y', z' du point de discontinuité M'. On peut "doiic réerîie G [x, y, z, x', y', z'J, en la eonsidérant comme une fuDction de ces six variables, ou eneore G (>1, M'), en indiquant par cette notation la valeur, au point JI, de la fonction de Green relative au domaine T et au poitit M'.
72- Propriétés delà toDCtion de Oreen. - — Soient deu\ points |M et M' du domaine T; soient en outre G (M. M) lu val,-ur ■ iiJCtion de Green relative îi T et au point M' et G (M', M) la valeur eu M' de la louctioQ de Green relative au point M. Je dis que l'on a :
Pour démontrer ce tliéorème, nous disiiguorons deux cas.
Premier cas. — Le domaine T est situé iil'inir d'une surl'ace S qui le limite (fig, 4l!). oisième point du volume T. Posons :
G'(Ml = G^M,M')
Montrons que l'on a
G'(M") = G"tM';.
FOyCnoy de CREtW et problème de DIRICULET iVy
Pour cola, reporloiis-iious à une formule démoiilrée au paragraphe 68 : si U et V désignent deux potentiels newtoniens dus, le premier à une distribution m de masses, le deuxième à une distribution m', on a :
J(Si\ dn dn / ^
Cette Tormule s'applique encore si U et Y désignent Tun et l'autre la somme d'un p(»tentiel et d'une fonction harmonique. Or, ce dernier cas est précisément le cas de (V et G"; G' est la somme d'une fonction harmonique W et d'un potentiel du à une masse -t- 1 placée au point M'; G'' est la somme d'une fonction harmonique II" et d'un potentiel dû à une masse + 1 placée au point M". On a donc :
Mais la fonction G s'annule sur S ; G' et G'' sont donc nulles dans cette intégrale de surface et le premier membre est nul ; le second doit l'être aussi et l'on conclut :
c'est-à-dire
et de même :
Le théorème annoncé est donc démontré. Opendant il faut remarquer que cette démonstration n'est pas sans défaut : elle
suppose en effet qu'en chaque point de S, —, — existe et est finie
et bien déterminée. Or G est égal à II H et l'on sait, au
sujet de II, seulement ceci, que l'on a :
AU == dans T
II ■^= sur S
riIÉORIE Dr POTEXTIEL NEWTONIES
dll
Mais on ne sait rien sur -= — . On ne sait donc rîen non plus
dC. ^"
sur -^ — .
an
On peut donner une démonstration plus rigoureuse, nous
l'indiquerons plus loin, mais auparavant traitons le deuxième cas.
Deuxième vas, — Le domaine T est indéfini : c'est la portion de IVspaee qui s'étend à l'extérieur d'une surface fermée S.
Traçons alors une sphère S de très grand rayon ayant pour (MMitre M' et contenant à son intérieur la surface S et le point M
,lig. 47; ; appelons T^ le domaine compris entre la sphère S et hi surface S et désignons par G, la fonction de Green relative au volume Tj ; enfin désignons par 11, la fonction harmonique correspondant et par r et r' les rayons vecteurs issus de M et M'. On peut écrire :
FONCTIOS DE GREEN ET PROBLEME DE DIRICHLET i j;
le volume T, étant limité, la démonstration du paragraphe précédent s^applique et Ton a :
Gj(M,M')=Gj(M',M).
Or, on a aussi :
