II

et par suite

«Ml tout point de ï, et en particulier en tout point de S.

(Considérons alors la fonction H — II,: elle satisfait dans T à ré<|uation de Laplaee et reste néfraiive sur S; elle est donc négatîve en tout point de T.

Bref, à Tintérieur de T, on a II — II, <0 et par conséquent G, — G>0, d'où:

4° Soit maintenant ( fi^. r>()) une surface fermée S. Gonsiilérons le domaine T extérieur à cette surface ; dans ce domaine, considérons un volume T, limité par une surface S,.

Soit maintenant M' un point du domaine T, : appelons (î la fonction de Green relative à T et au point M' et (i, la fonction de Green relative à T, et au même point M'.

POi.xcARÉ. Putenl. NewI. ii

Fig

THÉORIE DU POTEyTJEL SEWTOSIEN

On démontre sans difficulté, en suivant le mode de raisonnement qui a servi dans le cas précédent, que l'on a :

en tout point M de T,.

5® Considérons un domaine T limité par une surface fermée S. Soit M' un point de ce domaine et G la fonction de Green rel.itive à ce point et à ce domaine.

Envisageons les surfaces :

G = const.

A chaque valeur de la constante correspond une surface particulière.

Pour des valeurs très grandes de la constante, on a évidemment des surfaces très petites entourant le pôle M' puisque la fonction G devient infinie en ce point.

Pour des valeurs très petites de la constante, on a au contraire des surfaces très voisines de S.

Enfin on passe d'une surface à une autre par déformation continue en faisant varier la constante d'une manière continue.

D'ailleurs la fonction G étant uniforme dans le volume T, deux surfaces correspondant à deux valeurs différentes de la constante ne peuvent pas se couper.

Les surfaces

entourent donc le pôle et s'enveloppent mutuellement-

Cela posé, soit une valeur particu* lière G^ de la constante ; considérons (fig. 51) la surface

rig. ùi.

Appelons-la S,,; elle délimite, \\ Tintérieur de T, un domaine T,.

Traçons autour du point M' une sphère S; nous pouvons la choisir assez petite pour que le minimun de G sur cette sphère

hONCTIOS DE GREEN ET PROBLÈME DE DIRICIILET i63

dépasse toute quantité donnée puisque G devient infinie en M' ; choisissons ï de telle sorte qu'en tous ses points on ait

Entre S^ et S, la fonction G est harmonique, elle atteint donc son

minimum sur Tune des deux surfaces S,, ou S ; ici ce ne peut être

que sur S et ce minimum est G,,. Ainsi en tout point de T^,

on a :

Au contraire, entre S et S^ la fonction G est harmonique et son

maximum est sur S^ puisqu'en tout point de S, G est nulle, (le

maximum est donc G^ et Ton a en tout point extérieur ii S^ et

intérieur à S :

Considérons alors la dérivée -^ — prise suivant la normale exté-

dn *

rieure à S^.

Gette dérivée existe puisque S^ est h Tintéricur de S et qu'en tout point de T la fonction G a des dérivées des deux premiers ordres. D'ailleurs on a en tout point de S^ :

dG ^ -j— <0 dn

puisque Ton a :

en tout point compris entre S et S,,.

Reprenons maintenant la formule démontrée au N° 68 :

:i) /(U-I^-V iH-)do.= 4T:S(mV-m'U).

Remplaçons dans cette formule la fonction V par la fonction de

Green G, laquelle est la somme d'une fonction harmonique H et

du potentiel — dû à la masse m':=l située au pôle M', llempla-

çons en outre U par 1 ; nous devrons faire m = cl lu formule considérée deviendra

•■ . lZ«!

TUHORIE DU POTESTIEL NEWTOSIES

C.cttc intégrale a un sens sî on Tétend à la surface S,, puisque

(In

est bien défini sur cette surface.

74. Nous sommes maintenant en mesure de démontrer rigoureusement le théorème du X® 72 dont nous n'avions donné qu'une démonstration imparfaite.

(Considérons toujours un domaine T limité par une surface S et prenons dans T deux points M' et M'' (Kg. 52\ Appelons G' la fonction de Green relative au domaine T quand on prend M' j)Our pôle et G" la fonction de (ireeii relative au même domaine quand le pôle est le point M". Désignons en général par les notations :

G' (M) et G" (M

les valeurs de ces fonctions en un point cjuelconque M de T. Nous voulons démontrrr Tégalité :

Pour v parvenir, donnons-nous un nombre s' très petit et considérons la surface :

App<*lons-la S' ; elb» ost très voisine de S et, si t est assez petit, elle contient à son intérieur les points M' et M''.

Gonsidérons alors l'intégrale :

j../*((;'4il(;

.'s \ «lu

.„ dC

(In

lb>

•'•ItMuIuc il la surfaiM' S' ; cllo est I)i<>n délorniinéc on vertu dos remarquas (ailes dans lo |»ara}][rrt[)lu' précédent ; de plus la formule 1) dans hujnelle on l'ait :

FOSCTIOy DE GREES ET PROBLÈME DE DIRICllLET i65

et par conséquent :

nous permet d'écrire :

M(intn>ns que J est nul.

Cette intégrale est la différence de deux autres :

/ O — î — u(o J dn

dG'

/G'-:;:^dw.

La première peut s'écrire

J dn

puis({ue la fonction G' est constante sur S' et égale à s'. Si l'on tient compte en <mtre de la relation (2), cette expression devient :

La première intégrale tend donc vers zéro avec s'. Vovons maintenant la seconde.

dG'

Dans cette intégrale, — j — est constamment négatif comme

■lous Tavons montré ; appelons alors z' la limite supérieure de ^ ' sur S', on a :

Or £ " tend vers zéro en même temps que £', car la surface S' t:end alors vers la surface S. Donc l'intégrale considérée tend vers SKéro.

Ainsi J tend vers zéro en même temps que i et par suite Texpres- 5jon