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G ;m' =g';mv
>* aniiuiHH' «'st démontié.
'5 Problème de Green. — Problème de Dirichlet transformé. — CamparaisOB arec le problème de DiriclUet ordinaire. — Ëquivalenoe de c»s trois problème*. — LV-mnicé du jii'(il>léni<r do Dirich'.'l onlin^tire a été donné plus liaul 64)- Voici renoncé du pro- |.'..-.ii.- J,r.r.-.-«.
{''.(t'ituft-iious dans l'ospuro à trois dimensions.
Soi! un M>Suii)>- T limité ]i)ir une surfuce Ici-mée S : ciilculer la tn-.u'.ixn d-' (.iriM-u relative ii co volume ol a un quelconque de
\in>i .n.in.'i-. le pndilèmc di- Given peut être appelé pro- !■' mr inteiiour d>' Green; mais, comme pour le proldême de l>i;iil;'..-l. un j'i'iil iiumo'v un prolilênie extérieur de Green.
IVins tout t'<' qui ^\l suivre, nous ne nous occuperons 4jue des p!-.iMrnu> intfiieurs: les mAnies considérutions s'appliqueront .iii\ pioMemes e\l.rieurs-
O:. p.iii m.'nlriT faeilemeut réquivalence du problème de C.:,;-.x .■: an ,.:..l.!.-ine de Oiriehlet.
S.-:; l' '.-I ii'Hilion qui doit Satisfaire il l'équation de Laplace .!.!■- I ,-l il. .m; i'. -.'.i^ii lie delemunet' les valeurs dans T par ses \..!.su> -m S >.i \.iîiiu l en un point M de T est donnée par la
. dl" dn
-.r..a..iiM,-,lii s.-,-..ti,l nieml.ie est étendue il la surface S ;
r..:io:i,.:i ,!,■ t-.v.MU r.Lili.e au point M' Cl il T. Celle for-
.i.-.li;.: .Il- i iiiti-i.ile ti du paragraphe 69 en rem-
:,• j>-!. ■:;l,; - p.n l.i somme t.', du potentiel— et de la
l.-irmo:,;,;.,.-)!
1- i.-m,.i,iii,.ii-. qu.' 0. s'ainiule sur S. la iorinule el-dessus
-x-.~iv
FOSCTIOS DE GREEX ET PROBLÈME DE DIRÏCIILET 167
OU bien
1 r dG ,
u = 7 — / U— i — dw.
4 7: j du
Sî donc on sait résoudre le problème de Green, on saura calculer la valeur U' de U en chaque point M' de T, c'est-à-dire résoudre le problème de Dirichlet.
Inversement, si Ton sait résoudre le problème de Dirichlet, on sait calculer la fonction H et par suite la fonction de Green G pour chaque point M' de T.
Les deux problèmes de Green et de Dirichlet ordinaire sont donc équivalents.
76. Voici maintenant en quoi consiste le prohlcnie de Dirichlet transformé :
Trouver une fonction V satisfaisant aux conditions suivantes : 1® Que V soit continue ainsi que ses dérivées premières dans T ; 2® Que ses dérivées secondes si)ient finies; 3® Qu'à l'intérieur de T on ait, en chaque point :
AV = — 4 7:[jL,
p. étant une fonction finie et intégrable donnée ; 4^ Que sur la surface S on ait
Posons
dT'
LJ satisfait aux conditions (1), (2), (3), mais non h la quatrième. Appelons U. les valeurs de U sur S; si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet ordinaire, on sait calculer une fonctionW satisfaisant aux conditions (1), (2) et aux deux suivantes
AW=0 dans T
W = — Us sur S.
La fonction
satisfait aux 4 conditions proposées . Ainsi donc , si l'on sait résoudre
i68 TUÊORIE DV POTENTIEL yEWTOMEy
le prolilome de Dîrîchlot ordinaire , on sait aussi résoudre le
prolilènie de Diriehlel transformé.
Inversement, supposons que nous sachions résoudre ce dernier
problème, proposons-nous de résoudre le problème de Dirichlet
ordinaire, c'est-;i-dire déterminons une fonction U telle que Ton
ait :
Al -=0 dansï
r ^^ 5 sur S,
:: étant une fonction donnée.
Pour y parvenir, formons une fonction W continue dans T ainsi que ses dérivées premières et secondes et se réduisant à s sur lu surface : cela est possible d'une infinité de manières, l/une de ces fonctions NV étant choisie, la fonction AW est connue dans T. Pour achever le problème, il suffit de résoudre le problème de Dirichlet translormé en prenant pour jji la fonction ANV. On obtient ainsi une deuxième fonction V.
(«onsidériHis alors la fonction
Klle satisfait aux conditions proposées et résout le problème de nirichlet ordinaire.
77. >U»ntrtms enfin l'équivalence du problème de Green et du problème de Dirichlet transformé.
Supposons que nous sachions résoudre le problème de Green. ilonsidorons alors Tintè^rrale :
\ ^ I C. X, y. z, X , y , z ix dT
i; ctunt la fonction de Green et Tintégrale étant étendue au
xoUuwe r.
I a fonction V ainsi obtenue est la solution du problème de
Duiohlet transforme.
\\x crtVt. écrivons :
G ^ll-'
\^ tyMivtixMi V pr\nulra Ui lorme
|';i^il__/*||;^dT.
FOSCTIOy DE GREEy ET PROBLÈME DE DIRICULET 169
Appelons V, la première intégrale et V, la seconde ; faisons voir maintenant que la somme V, + V, satisfait aux quatre conditions du problème de Dirichlet transformé.
i® Vj est un potentiel de volume; \\ satisfait donc aux conditions de continuité. H est une fonction harmonique; on peut, dans V,, diflerentier sous le signe j et Ton voit ainsi que \\ satisfait comme V, aux conditions de continuité. Donc V, qui est la somme de ces deux fonctions, y satisfait aussi.
2^ On a :
