AV = AV. + AV

de plus :

AV, = 4 7:;jL

A V, = car A V, = JaI I ;jL'dT' ;

donc, en somme :

AV = — 4 irjjL.

3** Soient M un point intérieur à T, M^ (fig. 5,'^), un point de S, V la valeur de la fonction étudiée en M ; je dis que, si .M

Fig. r» J.

tend vers M^, V tend vers zéro. Pour le démontrer, décrivons une sphère S, tangente extérieurement à S en M^; cela est généralement possible. Distinguons alors plusieurs cas :

Premier cas : jx > 0.

Dans ce cas, V qui est égal à | G;jL'dT est positif puisque G et jjl' le sont.

I70 THÉORIE DU POTESTIEL NEWTOSIEN

Appelons G la fonction de Green relative h l'extérieur de la sphère et au point M'; on sait que :

Désignons par a le rayon de la sphère, par O son centre etpar p la distance OM'; appelons M', le conjugué harmonique de M' par rapport à la sphère ; ou a :

Enfin posons

On a :

OM'OM, = a'

r = M\r r, = MMV

V <jG,[JL'dT'.

Mais nous connaissons l'expression de la fonction de Green relative ii l'extérieur d'une sphère ; c'est

•~ r or,

On a donc :

aix'dT'

Quand le point M' décrit rélément d-r' dans T, M', décrit un élément d^, dans S, et au volume T correspond un volume transformé T', situe à Tintérleur de S,. Les deux éléments dV et dx', sont reliés par la formule connue de la théorie de l'inversion :

dT' ÔM'' f p*

d^\ ~ ÔMV^~^^^\' «

I/inégalité ci-dessus devient alors :

la première intégrale est étendue au volume T, c'est un potentiel

F0i\CTJ0y DE GREES ET PROBLEME DE DIRICIILET 171

newtonîon dû à des masses dont la densité variable est jj/; la deuxième intégrale est étendue au volume T\ et représente un poten-

tîcl newtonien di\ à des masses dont la densité est --4- . Ce sont

donc deux fonctions continues ainsi que leur différence. Or cette diflerence est nulle sur S, et en particulier au point M^, donc cette différence tend vers zéro quand M tend vers M^. La fonction V, qui est comprise entre zéro et une quantité qui tend vers zéro, tend donc vers zéro.

Deuxième cas : [x < O.

Alors V est négatif et Ton démontre de la même manière que :

T, compris entre O et une quantité qui tend vers zéro, tend \ers zéro quand M tend vers M,,.

Troisième cas : [jl quelconque.

On peut poser :

[A = JX', + [aV ,

jjl'j étant égal à jjl quand [jl est >0 et nul partout ailleurs, jjl'^ au contraire étant égal à [x quand jjl est < et nul partout ailleurs ; 2*1 ^^ V-t ^^'^* continues comme [jl. Ou donne ainsi naissance à Jeux fonctions V, et V, correspondant à jx', et jjl'^; elles rentrent dans les deux cas précédents et tendent vers zéro quand M tend vers M^. 11 en est donc de même de V = \\ -f" ^'t ^^^ correspond à ji..

Ainsi, en général, quel que soit le signe de |jl, V tend vers ^éro quand M tend M^.

La fonction V satisfait aux quatre conditions du problème de Dirichlet transformé : c'est la solution cherchée.

Eu résumé les trois problèmes : de Dirichlet ordinaire, de Dirichlet transformé, de Green sont é([uivalents.

78. Cas du potentiel logarithmique . — Ces résultats s'étendent

■>■ Jl

i;i TlIKOniE DU POTESTIEL yEWTOMEy

au cas do doux variables et au potentiel logarithmique dans le plan.

11 y a cependant une diH'érence : dans le cas du potentiel newtonien on nt^ sait résoudre le problème de Diriclilet que quand on sait former toutes les fonctions de Green relatives h tous les points du domaine. Dans le cas du potentiel logarithmique, le calcul de la fonction de Green pour un p(nnt du domaine sufGt : le calcul pour les autres points s'en déduit.

CIIAPITIIE V

RÉSOLUTION DU PROBLKMK DE DIRICHLKT DANS LES CAS DU CERCLE ET DE LA SPHÈRE.