THÉORÈME DE HARNACK

79. Fonction de Oreen pour le cas du cercle. — Il est lacilo de lV>riner la fonction de Clreen relative à un cercle il de centre () et <Ie rayon a (fig. 54) et à un point M' intérieur ii ce cercle.

Traçons OM' qui rencontre le cercle en A et B et prenons sur cette droite le point M" conjugué harnionicjue de M' i)ar rapport à A et B. Soient d'autre part M un point quelconciue situé à rintérieur de C et Mj un point ([uelcon<pie situé sur le contour

de C Posons :

0M' = ?, OW —

MM' = r, MM ' =- r' M,M'=r„ M,M':r',

174 THÉORIE DV POTESTIEL yEWTOMEy

On a la relation :

quel que soîl le point Mj.

On a (l'autre part :

et :

i«g7-'"g-p-=iogT

H-7^ = iog-y

Posons alors :

ii=.iog;— log-

On a bien :

AII^^O

et de plus II prend bien sur C les nu^mes valeurs que log — . D'oii :

G = log ^^g"~"

et Ci est la fonction de Green cherchée.

On peut suivre une marche analogue pour former la fpuction de Green relative à un domaine constitué par la partie du plan qui est extérieure au cercle C.

Sachant trouver la fonction de Green pour le cas d'un cercle, on sait par là même, commenous Tavonsvu, résoudre le problème de Dirichlet pour le cas du cercle. 11 y a bien encore, il est vraî, ([uelques difficultés. Mais elles seront levées plus loin à propos de la sphère. 11 est inutile d'insister sur le cas du cercle, la méthode à suivre étant la même que pour la sphère.

80. On peut suivre une méthode plus directe pour résoudre le problème de Dirichh^t dans le cas du cercle.

Plaçons l'origine des coordonnées au centre du cercle donné C. Soit M' un point intérieur à C. Appelons x, y les coordonnées

rectilignes rectangulaires de ce point et p, w ses coordonnées polaires. On a :

X = p cos (O

y == p sin w.

Cela posé, on veut trouver une fonction continue V possédant Jes dérivées partielles des deux premiers ordres elles-mêmes continues et vérifiant les conditions suivantes :

AV = a l'intérieur de C,

V = '^((o) sur le contour de C,

;5 [m] étant une fonction donnée. Si cette fonction satisfait à la vonclilion de Dirichlet, on peut la développer en série de Fourier :

30 ta

r^ ((u) = A,,-!-^ A„cosn(o-l-\ B„ sin

Posons alors :

flO

V = A„-l-\ A„o"cosn(o+ \ B„p"sinn(o.

Je dis <|ue V est la solution cherchée.

Remarquons (jue nous avons supposé implicitement le rayon du cercle C égal a Tunité. S'il était égal à R, il faudrait écrire :

sin ntj

Mais rien ne serait changé pour cela aux raisonnements qui vont suivre.

Étudions la fonction V. Plaçons-nous d'abord en un point situé à l'intérieur du cercle C. Kn un tel point, on a :

Prenons p,, tel que :

Cela est possible. D'autre part il est facile d'assigner une limite

176 THÉORIE DU POTESTIEL NEWTOXIEX

supérieure X aux modules des coellficients de la série p (eu). Dans ces conditions, on a évidemment :

I A„p" cos no) I < Xp^- I B„p- sin n(o ) < Xp,° |Ao|<N.

Les termes de la série V sont donc inférieurs en valeur absolue aux termes correspondants de la série :

(|ui <'st convergente <»t à termes tous positifs. Donc, dans tout domaine intérieur au cercle (I, la série V est absolument et uniforméuKMit convergente et sa somme V est une fonction continue. On démontre de la mém<» façon que V possède des dérivées partielles de tous les ordres elles-mêmes continues.

11 résulte des remanjues précédentes que, p(mr montrer que Ton a :

<Mi tout j)oiut intérieur à (1, il suffit de montrer que cluuiue terme d<^ la série V satisfait à cette relation. Or on a :

fx -f- iv " — : p" 'vos nto -\- i sin nw

Mais ,x + i y}" est une fonction analytique holomorphe de

x + i v. D'où :

A (^p" cos nto) ^^=

A 0" sin nco) ==0.

On peut d'ailleurs 1<» vérifier directement. En efTet, changeons (le variables et écrivons l'identité :

(\o- ' p Op ' p* Ow*

Tout revi«'nt à voir <[ue Ton a :

iVo" 1 Op° n-p» ^

Oo- Oo p'

RKSOLVTIOS DU PROBLÈME DE DIRICIILET 177

c'est-a-dîre :

ce qui est évident.

Kiifiii, en vertu d'un théorème d'Abel relatif aux séries entières, il est clair que V tend vers ri {lo) lors(|ue p tend vers 1. Donc V est bien la fonction cherchée.

Remarquons que Ton vérifie aisément les relations :

Si donc on pose :

A„ cos n(i> -[- B„ sin n w

on obtient la solution du problème de Diriehlet pour le cas où le domaine envisagé est constitué par la partie du plan extérieure au cercle C.