AX

Donc l'intégrale curviligne considérée est indépendante du choix «[ue l'on fait pour L. De plus, on a bien :

dY i>X

OY

Ov l^X

Donc X + i Y est une fonction analytique de x -|- iy. D'ailleurs 11 est évident <[uc cette fonction n'a aucun point singulier dans le domaine D. Je dis qu'elle est uniforme. En effet on a :

df-:-dX+idY.

Mais :

si (1 est un contour fermé situé tout entier dans D. D'où :

/ df^O dans les mêmes conditions.

82. — Soient ileux aires a et A limitées respectivement par les contours c et (!. Snj»j»osons qu'il existe une correspondance univo({ue et réciproque «Mitre les points de a et ceux de A, de h'ile sorte (ju'à tout point m de a corresponde un point M de A el un seul, et récipro([uement. On dit alors que l'on a effectué

RKSOLVTIÔiS DU PROBLEME DE DIRICilLET 179

la représentation uniforme des deux aires a et A Tune par Taiitre. Appelons X, y les coordonnées de m et X, Y celles de M ; X, Y sont des fonctions uniformes de x, y et réciprocjuement.

Knvîsageons deux courbes tracées dans a et se cou])ant en m : il leur correspond deux courbes tracées dans A et se coupant en M, si, comme nous le supposons, la correspondance établie entre a et A est telle quà deux points Infiniment voisins pris dsnis a correspondent deux points infiniment voisins dans A et réciproquement.

Si Tangle des deux courbes de A en M est égal à Tangle des deux courbes de a en m, c'est-à-dire si les angles sont conservés par hi transformation, on dit que la représentation est conforme. Il y a d'ailleurs deux sortes de représentations conformes : les directes et les inverses^ suivant que les angles corres))ondants sont ou non de même sens. Je ne m'occuperai (pu» des représentations conformes directes. Dans ce cas, X -f- 1 V doit être une fonction analyticpie de x + iy. D'où :

Ox dy