V -.^is: '^ S; sur c
5 (s: étant une fonction donnée de l'arc s de e.
ilîo TIIKORIE DU POTESTIKL NEWTONIEN
(Ida posé, nous voulons trouver une fonction V régulière dans A et vérifiant les relations suivantes :
TV^ Âvï"'^^ — dans A
V = <t>(S) sur C
<[>(S} étant une fonction donnée de Tare S de C.
Kn vertu d'une remarque faite au paragraphe 81, v est la partie réelle d'une fonction analytique holoniorphe dex-l-îy :
v + i\v = f(x + iy)
mais on a :
X + iY =r F (x H- iy)
D'où :
v + nv=f, (X-)-iY)
On pout alors poser :
La fonction V est harmonique dans A et prend sur C la même succession de valeurs (juc v sur c.
On sait résoudre le problème deDirichlet pour un cercle. Donc o:i peut le résoudre pour toutes les aires qui sont conformément r(»présental)les sur un cercle.
84. C.onsidérons encore une aire T. Si l'on connaît la fonction de (ireen relative au domaine T et à un point particulier M' de ce domaine, je dis (pu» Ton j)ourra trouver toutes les fonctions de (ireen relatives au même domaine. Kn effet on a :
l.i fonction 11 étant définie par les égalités suivantes :
AIl^O dansT
\\ ^^ — loii^ -JL- sur le contour de T.
La fonction G est uniforme. De plus c'est la partie réelle d'une
RESOLUTIOy DV PROBLEME DE DIRICULET i8i
ionction analytique de x + i y. Appelons G' la fonction qui lui est associée et posons :
G + iG'==f(x+iy).
La fonction G' est-elle uniforme ? Nous ne pouvons pas rafHriïier,à cause de Texistence du point singulier situé en M'. Mais, pour voir ce qu'il en est, il nous suffît de tracer les courbes :
Nous savons qu'elles s'enveloppent mutuellement (S 73) et qu'elles contiennent toutes le point M' à leur intérieur, delà posé,
désignons par — et -p- les dérivées prises respectivement suivant la tangente et la normale ii l'une de ces courbes. On a :
dG' dG
ds dn
dG' dG
dn ds
D où :
dG' , r dG ,
-dr^^=jinr^'^'
le contour d'intégration étant l'une des courbes :
Or, nous avons vu que :
dG
/—z — ds = — 2 t:.
dn
Donc :
/dG' = -2.
et la fonction G' n'est pas uniforme, puisqu'elle augmente de — 2:: quand on fait décrire au point x, y un contour fermé entourant le point M'. Toutefois, si la fonction G' n'est pas uniforme, il n'en est pas de même de la fonction :
i8i THEOHIE DU POTEXTIEL SEM'TOyiEN
Donc on peut poser :
e"- «■•' = f, ;x + i y) = X + iY,
f^ étant une fonction analytique uniforme de x -|- î J'- Maintenant, consicl«M*ons le cercle :
Je dis ([uc nous pouvons faire la représentation conforme de Taire T sur ce cercle. On a :
Donc les courbes :
se transforment en les cercles concentriques :
D'ailleurs la courhe :
qui n'est autre que le contour de Taire T devient le cercle :
La représentation est ainsi réalisée. Kn consé([uence, on peut résoudre 1<' problème de Dirichlet pour Taire T et par suite trouver toutes les fonctions de Green relatives à ce domaine. La proposition annoncé<* est donc établie.
Ge théorème n'est plus vrai dans le cas de l'espace.
85. Résolution du problème de Dirichlet pour le cas de la sphère.
— Nous avons déjà formé (>i 12 la fonction de Green relative à une sphère et à un point ^T situé à l'intérieur de celle-ci. Si Ton appelle (Kg. 55) :
a le rayon de la sphère,
la dislance OM',
r la distance MM'
r' — la distance MM'^
r pr'
En tout point de la surface de la sphère, la relation :
est vérifiée, puisque les points M' et M'' sont conjugués harmoniques par rapport a la sphère.
Posons : -s,^
Alors :
o=OM,M'
dG
