COS C

a COS *l

En effet -|— est la projection sur le rayon O M, des attrac-

Ig. D.->.

tions dues à deux masses, l'une + 1 située en M', ruiitre

située en M". On peut d'ailleurs facilement vérifier la formule précédente par un calcul direct. Transformons l'expression de -. — :

dG r COS '^ a r' cos •{/

i84 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTOSIEN

Or on a sur la sphère :

IVoù

Maîf

dG r cos ^ p-^ r' cos 'J'

r cos '^ = a — p cos 9

r'cos

•i^ = cos 9 — a .

Keniplaçons :

\n u ?cos9— -^

dCï a — pcosfi * a

dn r^

dG a^— 0^

dn ar*

,, ., dG . , , 1

On voit que -r-^ est proportionnel a — r-. * dn * * r'

Ola posé, cherchons à résoudre le problème de Dirîchlet pour le cas de la sphère. Il s'agît de construire une fonction V régulière en tous les points situés à l'intérieur de la sphère et satls- Taisant aux conditions suivantes :

AV = à l'intérieur,

V = une fonction donnée a la surface

Appelons V la valeur de la fonction inconnue en un point M situé à l'intérieur de la sphère et V la valeur donnée de cette même fonction en un point M' de la surface. Soient, d'autre part, dti/ un élément infinitésimal de cette surface et G la fonction de Green ayant le point M pour pôle. On a (§ 75) :

-1 T. J dn

le champ d'intégration étant la surface de la sphère. Cette formule permet de résoudre le problème que nous nous sommes posé. Mais il y a deux objections possibles :

RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICIILET i85

1^ -t — exîste-t-il ? Nous avons vu plus haut que oui.

du *

2** la méthode suivie suppose que Ton admette d'avance

l'existence de la solution cherchée.

Pour atteindre une rigueur parfaite, il nous faut établir (jue la fonction V construite au moyen de la formule précédente remplit bien toutes les conditions imposées à la fonction cherchée. C'est ce que nous allons faire. Nous sommes ainsi amenés à discuter une intégrale connue sous le nom lï Intégrale dePoissoti,

dG a=* — f

D où :

Posons :

On en déduit

<ln

ar«

f) V'dw'