OU , OU

do = -T — ux

OU , ou .

dv'H — :;^ — dz.

en appelant x, y, z et x + ^x, y + dy, z -+- dz les coordonnées cartésiennes des points M et M' Tig. 5G) dont les coordonnées

Fig. ;>r».

polaires sont p, &, '^, et p + dp, 0, '^. Remarquons que dx, dy, dz sont les projections orthogonales de dp sur les trois axes de coordonnées. D'où :

Nous pouvons remplacer :

dx, dy, dz, dp

RÊSOLUTIOS DU PROBLÈME DE DIRICIILET iH;

psiK* (les quantités proportionnelles. On conclut de lit :

dU dU . dlJ *HI

i)o dx * dv Oz

C^'est ce que nous voulions établir, ^n n :

I >\'iutre part, on peut écrire :

r* ^= a* + p* — 2 ap cos 6 ^■^ posant (fig. 55]> :

^^n tire de lii :

rdr — odp — a cos Hd o

*^t-îi-dire :

dr p — a cos

do r

ar suite

1 iV

Oo r' iV

a eus

une :

!i ^ OU /• , 2afco80 — 2î* , , r , »- — o' — r^ , ,

Or:

U^rJ^cU..'

i88 THÉORIE DU POTENTIEL SEWTOSIEN

D'où :

(^elte relation va jouer un rôle essentiel dans nos raisonnements.

I.a fonction U est un potentiel newtonien dû à une surface attirante. Donc U a des dérivées partielles de tous les ordres qui sont finies et continues, en tout point situé à l'intérieur de la sphôre. De plus on a :

dans le même domaine. Maintenant il est clair que o — j — est aussi

^ * dp

une fonction continue et possède des dérivées à Tinfini. Kn outre, on a :

Kn eflet, de la formule :

\n\ déduit :

ot, comme on a :

ce qui entraîne :

on peut écrire :

La relation :

est ainsi vérifiée.

Va\ un mot, il résulte des remarques précédentes que V est une lonction harmoni([ue dans la sphère.

HÉSOLVTIOX Dr PROBLEME DE DIRICULET

Il nous reste à constater que V ^x, y, z) tend vers V V, y\ z' quand le point M (x, y, z) tend par un chemin quelconque vers le point yi' (x', y', z') de la surface de la sphère.

Fig. 5;.

Rappelons d'abord un résultat établi dans la théorie des surfaces attirantes. Soient (fig. 57) :

S une surface attirante.

My un point fixe de S.

M un point de Tespacc.

X, V, z les coordonnées de M.

MM,, la droite qui joint M à M.,.

M' un point de S.

x', v', z' les coordonnées de M'.

fx' une fonction de x', y', z'.

[jLy la valeur de \x en M^.

Supposons que le point M tende vers le point M„ en suivant la droite fixe MM^. Prenons la normale à S en M^, pour axe des z et le plan tangent îi S en M^ pour plan des x, \\ les axes de coordonnées étant d'ailleurs rectangulaires. Considérons niaintenaiil rintégrale :

190 TIIÉOHIE DV POTESTlFsL SEWTOXIES

V olîint la distance MM'. Si les axes sont quelconques, on a

• NMa'dw'

N étant la projection de M sur la normale en M^, projection laite parallMement au plan tangent en M^. Le cliqnip d'intégrmiion est toujours la surface S dont d'»' est un élément, delà posé, ob sait que :

lim.

Appliquons cela.

On a fig. 58; :

a^ f /• ;i M.,Nilo,'

Si M tend vois M.,, N v tend aussi. Dans ce cas, on a :

Inn — -

ini a -T- ^.

rar :

.M„.\ =^ a — ( )N ::^- a — c cos a, a étant Tan^le MON, ce (jui prouve que :

lini M,.N --lim a — si.

BÉSOLCTIOy DU PROBLÈME DE DIRICIILET kji

D'autre part, en vertu du leninie i*appelê plus haut, on a ;

D'où :

lim I 2r — - «\-«-o-

lim V = 47:a'jL„

ce qui donne bleu :

lim V -= Y'.

Kn définitive, il est prouvé que la fonction V résout le problème de Diriclîlet dans le cas de la sphère.