Reprenons la formule

On sait que V est le potentiel dû à une certaine couche de matière attirante répandue sur la surface de la sphère, .\ucune des masses qui engendrent U n'est située à l'intérieur de la sphère. Donc iS 23), dans ce domaine, U est développable en série de polynômes sphériques :

u ^ n„+ II, H- II. + + ll„ H- ...

On peut écrire :

X„ étant une fonction sphérique. D'où

Les quantités Xi ne dépendent que de H et '^. D'où :

^.^ = pX, + 2?^\.+ ... + ..o"X„+...

(les deux séries sont convergentes pour :

On déduit de là qu'à l'intérieur de la sphère V est développable en série de polynômes sphéri([ues :

Ce développement est valable pour tout domaine contenu clans la sphÎM'e.

On ne peut pas, en général, modifier Tordre des ternies dans les séries précédentes et ordonner par rapport à x, y, z. Cependant cette opération est possible (Jj 2A] si :

p<Âa,

A étant une constante sullisamment petite. Donc V est une fonction bolomorphe dans le voisinage du centre. Il en est de même d'ailleurs en tout autre point de la sphère, comme on le verrait en ordonnant les développements par rapport à x — \^ y — y„, z — z„, si Ton appelle \ y^ Zy les coordonnées du point considéré.

Fi je. K).

Tirons de là une importante conséquence. Soit un doniiûne T dans le([uel une fonction V est harmoniciue. Prenons un point M ([ueU'oïKjue il l'intérieur de co domaine et entourons ce point fig. 59^ d'une sphère 2: assujettie» seulement à ne pas sortir de T. La fonction V est harmonique dans ï. Donc on peut trouver une nouvelle sphère Savant pour centre le point M, contenue dans S et assez petite pour que V soit développable dans S en série entière procé(hnit suivant les puissances de x — Xy, y — y,,, z — z^ (si Ton appeUe x^, y„, z„ les coordonnées de W. Donc la fonction V esf hol amorphe en (ont point de T,

88. Méthode de Thomson. — Knvisageons une transformation ponctueHe de Tespacr par rayons vecteurs réciproques. I^Iaçons fig. GOi Torigine des coordonnées au pôle d'inversion O et supposons <[ue la sphère directrice ait un rayon égal à l'unité de

RÉSOLVTIOS DU PROBLEME DE DIRICIILET

longueur. Si M et M, sont deux points correspondants, on sait (|U^ils sont en ligne droite avec l'origine et que Ton a :

OM.OMj= 1.

Voyons les applications de cette méthode de transformation à l'étude du potentiel.

1®... Cas d'un seul point attirant. — Soient ((ig. 61) M' un

Fi g. Cm».

Fig. (h.

point attirant et M un point attiré. Au point M' correspond le point ^\\ et au point M le point M^. Posons :

et :

à cause de la similitude évidente des triangles OMM' et OM^M'j.

Supposons que le point M' porte une masse m' et le point M'j

une masse m',. Quant aux points M et Mp leurs niasses sont par

hypothèse égales à +1. Alors, si nous appelons V le potentiel

poiNCARK. Poteiit. Ncwl. l^

194 THÉORIE DU POTENTIEL SEWTONIEn

dù à Taction de M' sur M et V^ le potentiel dû a raction de M', sur M,, nous avons :

D où :

Or:

Par suite

r, ^ m^, V r m' Vj

Choisissons m', de telle façon que :

Puisque m' est donné, on voit que m', peut être déterminé. De

ni' plus, le rapport — ) est indépendant de p. On a alors :

c'est-a-dire :

2**. . . 6^rts ^/e plusieurs points formant un ensemble discret. — Soient M un point attiré portant l'unité de masse et :

un système de p points attirants portant respectivement les masses :

nij m

. mi-.

... mp.

pote

;ntiel

produit

en M

est ; V =

en désignant par rj, la distance MM|.

je ■

Appelons M' le point qui correspond à M dans Tinversion et :

ceux qui correspondent à :

Xv A I *vXa* • • • • Àf JLé • • • • • XvXqA

Posons en général :

OM' = p', OM', = p', On a :

et :

pour toutes les valeurs de Tindice i depuis 1 jusqu^à p. Attachons maintenant à chaque point M', la masse n\\ déterminée par la relation :

D'iiutre part, considérons le potentiel V produit en M' par l'attractiou des points M', :

On a

r'. = r. -^ m', m, Pi 1 m.

r'i Pi r,s' p' r,

D'oi

Comme on a

196 THÉORIE DU POTENTIEL ^EWTOyiEN

on en déduit :

V=pV.

3**. . . Cas d'un volume attirant, — Considérons un volume attirant T où la densité de la matière est jx en chaque élément de volume d*: dont le centre de gravité est le point M. Soit P un point attiré portant Tunité de masse. Appelons r la distance MP. Le potentiel produit en P est :

Transformons par inversion. Le volume T devient un volumeT' où la densité de la matière estjx'en chaque élément de volume d^' dont le centre de gravité est le point M'. Soit P' le point qui correspond à P. Appelons r' la distance M'P'. Le potentiel produit en P' par T' est :

UL^d-/

AT') r'

Le point M^ est supposé, lui aussi, porter Tunité de masse. ()uant à ]L y on peut le choisir arbitrairement. Posons :

[;/dT' 1 ,

(Ml appelant p^, hi distance OM et z'y^, la distance OM'. Désignons encore par p la distance OP et par p' la distance OP'. On a :

?P'=PilPM/=l

ot :

D'où :

Prenons donc :

cIt

Alors la relation :

ji/dr' 1

{xdT

est bien vérifiée. D'où :

Jx'dT' t'

[xdT r

[xdT

On en

conclut :

4** Cas d'une surface attirante, — Conservons les mêmes notations, en remplaçant seulement les éléments de volume dT et d-:' par les éléments de surface dw' et dw'. On a ici :

On prend donc :

fx' 1

et Ton a encore

a'doi' 1

adw

D'où :

5^ Cas d'une ligne attirante. — Conservons toujours les mômes notations, mais en remplaçant les éléments de surface dw et iW par les éléments de longueur ds et ds'. On a ici :

On prend donc :

et Ton a encore :

jx'ds' uds

198 THÉORIE DU POTEyriEL NEWTOSIEN

D'où :

5® Remarque. — Dans tous les cas examinés, on a :

V=pV.

Supposons que P' s'éloigne h Tinfini, alors P tend vers l'origine, p tend vers zéro et V reste fini. Donc V tend vers zéro.

Supposons maintenant que P s'éloigne à l'infini. Alors pV tend vers la valeur A de la masse totale qui engendre le potentiel V. Il en est donc de même de V quand P' tend vers Torigine.

89. Equivalence des problèmes de Dirichlet intérieur et extérieur. — Soit une fonction V, (fig. G2) harmonique à l'extérieur d'une

Fig. 6a.

surface fermée S^, s'annulant à Tinfini et prenant sur S, de^ valeurs données. Admettons que les dérivées premières de V^ restent finies et continues mc^me sur S,. On peut alors construire* une fonction définie, uniforme et continue à l'intérieur de S,, qui prenne sur Sj les mêmes valeurs que V, et qui possède îi rintérieur de V, des dérivées continues des trois premiers ordres. Cette nouvelle fonction peut être regardée comme un prolongement de la fonction Vj. On a :

AY, =0... à rexléricur de S, AVj :^0... à rintérieur de Sj.

De plus les dérivées de V, sont en général discontinues quand on traverse la surface S,. Dans ces conditions, il est clair que V, peut être regardé comme la somme de deux potentiels, l'un dû h une couche attirante répandue sur Sj, l'autre dû à des masses

distribuées à riiitérleur de S,. Effectuons maintenant la transformation de Thomson. Le potentiel Vj devient un potentiel V et, en deux points correspondants on a la relation :

Par cette même transformation, la surface Sj devient une nouvelle surface fermée S et, si le pôle d'inversion a été pris à Tintérieur de S,, l'espace extérieur à S^ devient l'espace intérieur à S. Le potentiel V est di\ à des masses extérieures à S ou situées sur S. Donc, à l'intérieur de S, on a :

Donc V est harmonique. De plus V prend sur S des valeurs qui sont données par la relation :

On voit par la comment on peut ramener le problème extérieur de Dirlchlet au problème intérieur, et réciproquement. J'indiquerai seulement, pour terminer, que, si la fonction :

^st harmonique à l'extérieur de S,, la fonction :

pst harmonique k l'intérieur de S. C'est ce que nous venons de voir. On peut le vérifier par un calcul direct.