Cas du potentiel logarithmique. — Soit un potentiel

V = 2 m los —

dii à des masses quelconques. Faisons une inversion comme ci-dessus, mais en donnant des masses égales à deux points correspondants. On a :

Vj = Sm log -^

•joo TUÉOniE DU POTESTIEf. NEWTOSIE?i

V, — V = Sni log — = 2m log ■^— ,

en reprenant les nii^mes notations que pour le cas d'un point attirant au paragraphe 88. On peut écrire :

V^^V+Smlog^-ïmlog-J..

On voit que la Jificrence V, — V ne dépend que de la position et de la valeur des masses attirantes données.

La conclusion est la même, qu'il s'agisse de points discrets, de surfaces ou de lignes.

On verrait, comme pour le potentiel newtonien, qu'on peut ramener le prol)lème de Dirichlet intérieur au problème extérieur, et réciproquement. Seulement, ici, si :

V(x,y,z,) est harmonique,

l*est aussi.

91. Propriétés des fonctions harmoniques à Imûni. — Considérons l'espace extérieur à une sphère S de rayon 1 (fig. G3). Soient M et Mj deux points correspondants dans Tinversion définie par i! prise comme sphère directrice. Posons :

p = OM, p, = OM,.

Si V, est une fonction harmonique à l'extérieur de S, la méthode de Thomson permet de construire une fonction V harmonique ii l'intérieur de ï. Kntre les valeurs de V et de V, en deux points correspondants, on a la relation :

Remarquons que V est harmonique même au voisinage de 0,

R/CSOLUTIOX DU PROBLEME DE DIRICIILET