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4 t: Js dn

CA)nsidérc)ns deux sphères ^ et ï' correspondant à deux valeurs diflerentes de p, p et p'. Kiitre ces deux sphères, V est harmoni<[ue. D'où :

r dv , r dv ,

du

Par suite :

lU

»'i' dn

RÉSOLUTIOS DU PROBLÈME DE DIRICULET 2o3

On en déduit :

dJ

dp-

A étant une nouvelle constante.

Si V est harmonique môme en O, J conserve une valeur finie lorsque p tend vers zéro, car si on pose alors :

on a évidemment :

|J|<47îN.

Donc :

La même conclusion subsiste, si, V n'étant pas harmonique en O, on peut cependant réaliser Tinégalité :

iv|<^-

Dans ce cas en effet, dès que p serait assez petit, on aurait :

si C était différent de zéro. Mais cela est impossible puisque J est la valeur mo venue de V. D'où :

D'ailleurs la conclusion ne serait plus exacte dans d'autres cas, du ihoins en général. Prenons en effet par exemple :

On a ici :

do> 4 710

J iizf 47Tp^ p

D'où :

•» -TJ

93. Théorème analogue à celui de Laurent. — Soit V une foiictien harmonique dans l'espace compris entre deux sphères concentriques S^ et S^ dont les rayons sont respectivement p^ et p, (py<pj\ Cette fonction est susceptible d'un dcveloppemenl en série analogue à celai (/ai est connu sous le nom de formule de

Fi g. 6jl.

Laurent pour les fonctions analytiques holomorphes dans une couronne circulaire.

Soient x, y, z les coordonnées d'un point M situé entre les sphcrcs S„ et S,. Posons (fi g. 65) :

p == ÔM = y/F+yM^.

Nous supposerons, ce qui est permis évidemment, que V reste finie et continue ainsi que ses dérivées sur S^ et S^ ; cela revient à dire que V est harmonique dans un espace un peu plus grand que celui que nous considérons. Dans ce cas, on peut, d'une infinité de façons, construire une fonction W jouissant des propriétés suivantes :

1° W est défini à l'intérieur de S^.

2'* Si l'on considère une fonction S qui coïncide avec V

entre S^ et S^ et avec \V à l'intérieur de S^, S présente tous les caractères de continuité des fonctions harmoniques régulières.

RÉSOLyTIOy DU PROBLÈME DE DIRICULE7 2o5

Posons maintenant :

et

AU = A6 =: AW pour p < p^

AU = A6 = AV = pour Py < p < ?,

AU = pour p > p^ .

Or on peut écrire :

V = (e— U)4-U pour p„<p<p,.

A l'intérieur de S,, on a:

a où (§ 87) :

e-U = 2(2n + ljn„ = i:(2n+l),o-X„.

Ce développement est valable pour :

Cela posé, U est un potentiel newtonien engendré par des masses situées toutes à Tintérieur de Sy. Donc, pour:

on a (§ 91) :

ir \'

On conclut de là :

ou encore :

Ce développement, dont ranalogie avec celui de Laurent est

ao6 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN

manifeste, est valable à Tintérieur du domaine où V est harmonique, c'est-à-dire pour :

Po<?<?i-

94. Je dis que le développement précédent n'est possible que d'une seule manière. Cela peut paraître paradoxal, car le choix de\V comporte beaucoup d'arbitraire. Néanmoins, voicî la preuve de ce fait.

(Commençons par démontrer une importante propriété des polynômes sphériques. Posons :

X„ et Xp étant deux fonctions sphériques. Considérons une sphère U de rayon p ayant pour centre l'origine et comparons son élément infinitésimal dio à celui de la sphère S concentrique et de rayon 1. Si l'on appelle p,0, ? les coordonnées polaires d'un point, on a :

d(i) = p^ sin 0d9d':> = oMt.

D'autre part, on a :

f (n„i!iL.n,4îk)dco=o

-'(u) \ dn * dn /

en vertu de la formule de Green, car :

An„=o, Anp=o.

i>iais ICI

dn Op

tloù :

Or:

Remplaçons ; il vient :

(p-n)?'^-'X,X.X,dcr = 0.

Donc, si n =^ p, on a :

rx„x,.dT=o.

c*est-ii-dire :

rX„XpSin9(19d? = 0.

11 est clair que cela n'est plus vrai si n=p.

Supposons maintenant qu'il y ait deux développements possibles pour une fonction V harmonique entre deux sphères concentriques Sp et S^. Posons :

Notre hypothèse implique qu'on puisse écrire :

en retranchant l'un de l'autre terme à terme les deux développements distincts de la même fonction. Or je dis que cette conséquence est absurde. En effet, nous savons que la série ^Y„ est uniforme ment convergente comme étant la différence de séries qui le sont. Multiplions alors les deux membres de l'égalité :

parYp et intégrons sur la sphère 2. On a:

en permutant les signes S et I , comme cela est permis à ciiuse de l'uniformité de la convergence. Dans l'égalité précédente, le signe S ne porte que sur les termes pour lesquels on a :

Mais on a :

2i)H THÉORIE DU POTESTIEL SEWTOSIES

Ou en conclut :

Ç Y\dT=0.

delà a lieu pour toutes les valeurs de rîndîce p. Donc, si Ton pose :

on a :

Le développement étudié n'est donc possible que d'une seule manière.

95. Remarques. — Considérons une fonction V harmonique à Textérieur d'une sphère \ de rayon p^ sauf peut-être à l'infini. On peut écrire :

(le développement est valable dans l'espace compris entre la sphère i!© et une sphère quelcon([ue dont le rayon est plus grand

Supposons maintenant que Ton puisse réaliser, pour toute

valeur de p, l'inégalité :

.pp) tendant vers zéro quand p augmente indéfiniment. Je dis ([ue, dans le développement de V, on aura :

Kn effet, on peut écrire ;

+y f x„pp A a.+y r -A- -^ <!-•

RÉSOLi'TION DU PROBLÈME DE DIRICULET 209

Dans celle formule, le signe \ porte sur des ternies pour lesquels on a :

On sait que la fonction X„ est finie. Ecrivons donc :

r)*autre part, on a supposé :

D'où :

Maintenant, on a :

r XpX.dT=0, f X;X,(l<r =

si p :^ n. De là résultent les relations :

y r Y ?pA.dT=o

^jJ(L) P» p"

,^^(2:) pP^* p"

?-dT^O.

On en conclut :