M5j(o)>| fx^dTH J-rx„X;dT

Faisons croître p indéfiniment. Le second terme du second membre tend vers zéro et il en est de même du premier membre. On a donc à la limite :

D'où, forcément :

r X»„dT^O.

ce qui implique :

La proposition énoncée est établie.

poi:>(CARÉ. Potent. Newt.

Voici une application. Supposons que Ton ait :

1 V 1 < Kp-, K étant une certaine constante positive. On peut écrire :

IVK-TT?-*

quel que soit p. Prenons :

on est dans le cas signalé plus haut. D*oii :

An ^.p =0,

pour toute valeur positive de p. Dans ce cas, on a :

pour toute valeur de p supérieure à p^. La valeur principale de V à rinfini est alors :

c'est un polynôme.

Si la fonction V est en outre harmonique et régulière à Tintérieur de Sy, on a simplement :

et alors V est un polynôme.

Si enfin V est une fonction harmonique régulière dans tout l'espace, sauf à l'infini, et si l'on a :

on voit que V se réduit à une constante X^. C'est la un théorème analogue à celui qui est connu sous le nom de Liouville dans la théorie des fonctions analytiques d'une variable imaginaire.