Autres remarques. — Soit une fonction V harmonique

RÉSOLCTIOy DU PROBLEME DE DÏRICIILET an

h rintérieur d'une sphère Sj sauf au centre O. Entourons ce point d'une petite sphère S^. On a :

pour p compris entre p, et p^. Mais p^, est quelconque. Donc ce développement est valable pour tout le domaine limité par Sj. Si on a :

c(p) tendant vers zéro en même temps que p, on voit comme ci-dessus que X'. est nul.

Donc si :

on peut écrire :

La démonstration est la même que pour la proposition analogue du paragraphe précédent. Dans ce cas, le produit p„V reste jRni à l'origine.

Si la fonction V est en outre harmonique et régulière à l'extérieur de S, et même à l'Infini, on a simplement :

Enfin si on a en plus :

V se comporte comme un potentiel à l'infini et alors on a :

97. Théorème de Hamack. — Soit un domaine T. Considérons une suite de fonctions :

définies dans ce domaine. Nous ferons les hypothèses suivantes :

tukohie du potextiel ^ewtosien

1"... toutes les fonctions U sont harmoniques dans T. 2°... toutes les fonctions U sont positives dans T. \Y,,. on peut assigner un nombre positif K, indépendant de n et du point x, y, z choisi dans T, tel que :

Voici une première conséquence. La série :

est convergente en tout point de T. Sa somme est donc une fonction de x, y, z définie dans T. Je dis que cette fonction est harmonifjue.

Fi g. ()(».

Prenons en edet, dans le domaine T, un point M^ quelconque (fig. (>()). Kntourons ce point d'une première sphère S' située tout entière dans T, puis d'une seconde sphère S concentrique à la première et intérieure à celle-ci. Soit M' un point de S' placé au centre de gravité de l'élément dio' de cette sphère. Appelons l'/ la valeur de U„ en M^ Prenons maintenant un point M ii Tinté rieur de S et appelons l,, la valeur de la fonction envisagée en ce point. Posons :

RÉSOLVTIOy DU PROBLÈME DE DIRICIILET

et désignons par a le rayon de S'. Puisque U„ est harmonique

dans S\ on a

Posons :

On a :

D'où :

y A. = /' si:'„do/.

0<yA„<4::a*K.

Donc la série :

dont les termes sont tous positifs, est convergente. Posons :

4?:ar'

Il est clair que r ne s'annule jamais, si, comme nous le supposons, M reste dans S et M' sur S^ On a :

<?n appelant b le rayon de S. Donc et ses dérivées successives sont des fonctions qui restent toutes finies. Posons :

ùz

ùx»

<Bj, etc.

U. = / U'„Ww'.

JiS')

= r u'„-^do/

dx'

JiS, Ox

do>'