CHAPITRE VI

98. Définition d'une double couche. — On est amené h consî dérer dans la théorie du magnétisme des systèmes attirants for mes de deux couches attirantes infiniment rapprochées j^

et telles qu'en deux points correspondants de ces deux couches les densités soient égales, de signes contraires m' et très grandes. De pareils systèmes s'appellent doubles couches.

Précisons cette définition.

Soit M' (fig. 67) un point attirant, m sa masse, et M un point attiré. Désignons par x', y', 'i! les coordonnées du point M', par x, y, z celles de M et par r hi distance MM'. Le potentiel newtonien V dû à la masse m a pour valeur au point M :

Supposons que, M restant fixe, M' se déplace, et soient 5, tj, ÎJ les composantes de sa vitesse; les coordonnées x', y', z! et le potentiel V sont alors fonctions du temps t. On a :

r dx' dv' d//

*-"dr' ^*-"^' ^ = "dr'

dv r^~c^'V ^-^

2i6 THÉORIE DU POTENTIEL yEWTONIEy

La variation dV du potentiel pendant un temps très petit dt est donc :

dv=.„dt[-^î+-^,+^î:J.

Pendant ce temps dt, le point M' est venu en \F et dV n'est autre que la différence de deux potentiels : Tun dû à la masse + m située en M'', l'autre a une masse égale située en M'; on peut aussi regarder dV comme la somme de deux potentiels : l'un dû à la masse + m située en M'', l'autre à la masse — m située en M'.

L'expression dV est donc encore un potentiel newtonien, celui qu'engendrent deux masses très voisines l'une de l'autre, égales et de signes contraires. C'est, par exemple, le potentiel d'un très petit aimant dont le pôle austral serait en M'' et le pôle boréal en M'.

Considérons de même un volume attirant; son potentiel est exprimé par l'intégrale :

Supposons que chacun des points attirants M' se déplace, pendant un temps très petit dt, d'une très petite quantité M'M'' dont les projections sur les trois axes de coordonnées soient {dt, Tjdt, ÎJdt ; la variation dV du potentiel sera :

dV =

Cette intégrale peut être considérée comme le potentiel d'un volume magnétique, chaque élément dT' de ce volume ayant un moment magnétique dont les projections sur les trois axes sont:

[JL'dtd<C, [Jl'dtdT'r,, [Jl'dtdT'C

examinons enfin le cas d'une surface attirante ; son potentiel \ est représenté par l'intégrale de surface :

u'do/

En opérant comme précédemment, on est conduit à envisager l'intégrale

Cette intégrale peut être considérée comme représentant le potentiel dû à des masses attirantes répandues sur deux surfaces très voisines dont les points se correspondent de manière qu'en deux points correspondants les densités soient égales et de signes contraires; le segment déterminé par deux points correspondants a pour projections, sur les axes de coordonnées, ;dt,-/idt, !^dt, les quantités $, r,, ^ étant des fonctions de x\ y\ z'; la direction de cette ligne varie donc d'un point à l'autre de la surface.

On peut encore considérer l'intégrale (1) comme le potentiel engendré par une infinité de petites aiguilles aimantées implantées dans la surface, la direction de l'aiguille qui perce la surface au point x', y, i! étant celle du vecteur ç, r,, '^. Une telle distribution de masses attirantes s'appelle feuillet magnétique.

Il est clair que, dt étant très petit, le potentiel d'un feuillet magnétique est lui-même très petit, si la densité \i! est finie. Kn général on suppose la densité très grande de façon (jue le produit [x'Jt soit fini. Le potentiel prend alors une valeur finie et on peut l'écrire :

\i! ayant dans cette expression une valeur finie et désignant la même chose que ^'At dans l'expression (l).

Supposons maintenant que le vecteur ;, r,, J^ soit, en chaque point, normal à la surface, c'est-ii-dire que l'on ait :

a', ^3', y désignant les cosinus directeurs de la normale au point

ai8 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN

x', y', z' ; le feuillet prend alors le nom de double couche et le poteO' tîel s'exprime par Tintégrale :

99. Étude du potentiel d'une double couche. — Soit Vie potentiel d'une double couche S ; on a :

dw'.

ce qui peut s écrire :

Posons :

'a'dw'

S'tx'dw'

'm'dw'

J r la fonction V prend la forme :

On voit par là que, les fonctions U,, U,, U3 étant des potentiels de simples couc/ies, c'est-à-dire des potentiels de surfaces attirantes ordinaires, la fonction V se comporte comme les dérivées premières de ces potentiels ; en particulier, la fonction doit éprouver une discontinuité quand le point attiré se déplace en franchissant la surface S. Nous étudierons plus loin cette discontinuité; remarquons pour l'instant qu'en vertu de la formule (2), le potentiel (Vune double couche est une fonction harmonique en tout

Lt J* Z " '.

DOUBLES COCCUES 219

foint de Vespacc sauf sur la surface qui porte la double couche eUe-méme,

100. Avant d'étudier ce qui se passe sur la surface elle-m^nie, donnons au potentiel une nouvelle forme qui nous sera très utile dans ce qui va suivre.

Reprenons la formule (1) et considérons l'expression

ôx ' *^ ôy * Oz

Celle expression n'est autre que la dérivée de — prise suivant la normale à la surface dont les cosinus directeurs sont a', [i',^'';

désignons, suivant la notation habituelle, cette dérivée par -^ — ;

le potentiel V devient :

/• il.

Soient alors (fig.68) dco' un élément de la surface, M' son centre de gravité, M le point attiré et o Tangle de MM' avec la direction de la normale suivant laquelle on a différentié ; on a :

i =— j-COSC),

dn r** *

quel que soit le sens choisi sur la normale. Traçons maintenant la sphère de rayon 1 ayant le point M pour centre et appelons dy Taire de la portion de cette sphère découpée par le cCme ayant pour sommet le point M et pour base Télément do)'; la quantité Jt' s'appelle l'angle solide sous lequel Télément dto' est vu du point M. On a :

dT'.r*

cos z

Le double signe provient du double signe de cos'^, c'est-à-dire

i'iO

THEORIE DU rOTESTIEL SEWTOSlEy

(les deux sens possibles sur la normnle. Comparons les deux formules précédentes ; il vient :