V - , COS
dct) = -
dn
4Xdoi'=dbdT', r'
et Télément dV de potentiel dû à lélément dco' a pour expression :
dV =
l'dT'.
On peut récrire :
dV = [x'dT,
Fig. 08.
en convenant de donner un signe à dy. Pourvoir comment nous devons choisir ce signe, traçons (^fig. 69) les deux surfaces infiniment voisines ; appelons S, celle de ces deux surfaces où la densité est représentée par la fonction jx', et S, Tautre surface où la densité est représentée par — |x^ Soient a^b, et a^bj deux éléments correspondants d'égale étendue dw' ; soit enfin M le point attiré. Joignons le point M à un point de Télémcnt a,bj et supposons
que cette droite ne rencontre la surface S, qu'après avoir traversé S,; il est clair (|ue le potentiel du à l'ensemble des deux éléments a, au point M, le signe de -f- ;jl', c'est-à-dire le signe de la densité sur l'élément a,bj. 11 faut donc choisir le signe + dans la formule (1\ c'est-à-dire considérer do-' comme positif dans la formule (2).
Au contraire, si la ligne qui joint le point M à l'élément dio' rencontre S, avant Sj, il faut considérer do*' comme négatif.
I^n d'autres termes, si l'on appelle côté positif Ae S celui de S, et rntè nt'^afif celui de Sj,on prendra comme sens positif sur lanormale
Fig. ou.
DOl'BLES COVCIIES
"JL'Àl
celui qui va du côté négatif au côté positif; par suite, rélément do"' de la sphère de rayon 1 ([ui correspond à l'élément dw' de S sera considéré comme positif si dio' présente au point M son côté positif, et comme négatif si dio' présente son côté négatif.
Cela posé, Texpression du potentiel dû a la double couche tout entière est
Cest la formule que nous voulions établir.
101. Voyons maintenant ce qui se passe quand le point attiré M se déplace et franchit la surface.
Traitons d'abord le problème en supposant la densité constante. Le potentiel prend alors la forme :
t.' Nous distinguerons deux cas :
V^^cas. — Supposons (fig. 70) que la surface ait une forme et une position telles que toute droite issue de M ne puisse la rencon-
i-'igr- :
trer qu'en un seul point. Dans ce cas, ses éléments présentent tous le même côté au point M, les ([uantités d^ s'ajoutent, car elles ont toutes le même signe et leur somme est l'angle solide ii sous lequel la surface est vue du point M. L'expression du potentiel est donc
Ta£OS:£ liC POTEJriEL jEvrroxiEy
i ^n-^i^ i*Aidft Û etaAt f*>iitlt ïhi n^'^tît' «alva&t le cûtif d^ la sur* tac* <jaî *** toomé ver» l* p>îat M.
l'a ca» d^ t^ ^z^r^ ^^^ nnlîs«^ 5Î la «oriace S est i:ne portion de p[aa. ^^ Toît alor» îiiiiDtfdiatementce<|aî arrive lorsque le point M ^^ d<^place et vient traverser le plan en m point de la double couche. Sl le pinnt M tend vers, ce point du côté positif du plan. l'aniclell tend ver* 2:i et le potentiel ver* — 2îr-x : si an contraire M tf^nd ver* ce m^me point du côté négatif. l'angle solide U tend ver* — 2:r et le potentiel ver* — 2:rui : le potentiel d'une double couche plane subit donc une augmentation brusque de 4'a quand on traverse la double couche en allant du côté nésTatif ao côté p«>sitir.
2^ /v/jr. — Supposons fig. 71 la surlace S telle que certains rayons vecteurs issus de M puissent la couper en plusieurs
points. C'est le cas général. A un même élément dy' de la sphère de niyon 1 tracée autour du point M, peuvent correspondre plusieurs éléments Am\. dti>',, dw', — de S; supposons que X de ces éléments tournent leur côté positif vers le point M et que X' tournent leur côté négatif vers ce même point M. Considérons alors d?' comme positif pour tous les éléments possibles de S; nous pourrons écrire :
