V -= ;jl' r(X — X ; dT

C'est cette intégrale qu'il s'agit d'étudier au voisinage de la surface ; cette étude se fait sans peine dans le cas d'une surface fermée et le cas d'une surface quelconque non fermée s'y ramène.

DOUBLES COUCHES 2i3

Traitons donc d'abord le cas d'une surface fermée.

Trois circonstances peuvent se présenter : le point ^[ peut t^trc intérieur à la surface, à l'extérieur de la surface, sur la surface.

Supposons-le d'abord à l'intérieur. Tout rayon vecteur issu de M coupe la surface un nombre impair de fois (fig. 72) puisqu'on

Fig. 7a.

part de l'intérieur et qu'on va à l'extérieur. Les divers éléments de surface rencontrés successivement par un même rayon vecteur tournent alternativement leur coté positif et leur coté négatif vers le point M. On a donc :

X — V==hl

et

V = fx' Jiiz d^ = ih 4 7:;jl'.

On doit choisir le signe + et écrire V = 47:[jl' si c'est le côté positif de la surface qui est \\ l'intérieur; on doit, au contraire, choisir le signe — et écrire V = — ^ttix' si le côté positif de la surface est le côté extérieur.

Supposons maintenant le point M à l'extérieur de la surface fermée ; on voit alors (fig. 73j que tout rayon vecteur issu de M coupe la surface en un nombre pair de points et que l'on a :

d'où l'on conclut

rilKOR!E DU POTESTJEL SEWTOMES

Ainsi, en tout point extérieur à la surface, le potentiel est nul ; en tout point intérieur, il est constant et égal îi li: 47r[j.' ; il lait clone un saut brusque de 47:jjl' quand on franchit la surface.

Supposons enfin le point M situé sur la surface ; supposons en

Fig. : J.

outre qu*en ce point la surface admette un plan tangent bien déterminé. Deux cas peuvent alors se présenter.

Dans le premier cas (Tig. 74), la surface S est tout entière située d'un même coté du plan tangent. Tout rayon vecteur issu

i-'iK. :i.

de M ne coupe la surface qu'en un nombre impair de points autres que M ; la din'érence X — N' est donc égale à =1= 1 et T intégrale \ iW n'est étendue qu'aune moitié de la sphère de rayon 1.

Par suite, on a :

V = ±:27:ul'.

Dans le second cas (fig. 75j, le plan tangent partage la surface

DOl'BI.ES COrCUES

en deux parties : AM'B et AMB. A chacune d'elles corrcspoiul une moitié de la sphère de rayon 1. Pour toute la partie AMB,

Figr. :'».

un rayon vecteur quelconque issu de M rencontre la surface un nombre impair de fois ; on a donc :

et l'intégrale jx' j d^ (X — N'), étendue à riiémisphère correspondant, est égale à ±2t^Y'' .

Pour la seconde partie AMB de la surface, un rayon vecteur issu de M rencontre S un noml)re pair de fois ; on a donc :

et l'intégrale [jl' j (X — X') d^ étendue au deuxième hémisphère est nulle.

Ainsi, dans tous les cas, le potentiel a pour valeur en un point quelconque de la surface :

On choisit le signe + ou le signe — suivant que le coté positif de la surface est le côté interne ou le côté externe. On voit que la valeur constante du potentiel sur la surface est la demisomme des valeurs constantes qu'il a à l'extérieur et à l'inlérieur.

PoiTccARÉ. Polent. Ncwl. i "►

; DU POTEXTIEL .\E\VTO.\lE\

Qunnlnuxdérivcps, rllcfl s lieur et n't-prouveiit donc iVnnrhil lu siirriicc.

l.e jiri>lili'nie est ainsi densité est constunte, en passons nu cas d'une sut 1:1