Soit (fig. 761 S
iml nulles aucune dis
iircomme îi l'extê- (juand le point M
mpli-Iement résolu, dans le cas i [■ qui concerne les snri'nccs ferni quelconque.
e double
par une courbe {', ; cette s
couche quelconque liinilir rant deux eôlês, on peut en r une deuxième S', limitée ii lu mi^me courbe C et telle qii>inble de ces deux surfaces constitue une surface fermée. Traçons donc S' et supposons que cette surface porte une double couche dont l'cpiiissouret la densité soient lesnn^ines que celles de la double couche donnée.
Appelons V le potentiel de S, V celui de S' et W celui de la surface fermée :
idérons alors dru itués de part et d'à
\ point» M, lire de S et
Iri-s
oisins l'un de l'iiutre ; pu
, .lesignou. par W
■ V„ V„ le.
Milru
rs des trois fonclions consi
lérécs en M, et pa
leur»
valeurs en M,; on h :
d'où
\V il,
signanl le potentiel d'une
louWe couche rêpa
idne sur tu
SUdil
■e fermt'e. on sjiit, d'après
rc qui précède, 411c
Ion a :
De
plus, les pointe M, et M,
iiVlnnt pas situés
■u voisin.
.le S'
lu fonction V est continu
e en ces points et
u diiréren
V, est îiifiTiimeiit petite ; 1
egniilé (1) tienent donc : 1
DOUBLES COUCHES " ii-j
Soit maintenant M^ un point situé sur S entre les points M^ et M,; désignons par W,,, V^, V,, les valeurs des trois potentiels f en Mç, on a :
«i+w.- w.)=(Vfi- v.)+(^4i^ -V.).
Le deuxième ternie du second membre est infiniment petit puisque V est continu au voisinage de M^; le premier membre est nul puisque W désigne le potentiel relatif à une surface lemiée; donc le premier terme du second membre doit étrc^ infiniment petit et Ton voit que V^, est la demi-somme de \\ et V,.
Ainsi, dans le cas où la densité est constante, qu'il s'agisse d'une surface fermée ou d'une surface quelconque, le potentiel d'une double couche croît brusquement de 4 -a' ({uand on franchit la surface en allant du côté négatif au coté positif; sur la surface, il prend une valeur égale à la moyenne arithmétique des J^'ux limites vers lesquelles il tend ([uand on s'approche indéfiniment de la surface du côté positif et du côté négatif.
Quant aux dérivées premières, elles n'éprouvent aucune discontinuité quand le point attiré traverse la double couche. Clela est bien évident puisque les dérivées de W sont partout nulles et ([ue celles de V restent continues au voisinage de S.
103. — Abordons maintenant le cas général où la densité est varinble d'un point à l'autre de la surface.
Xous ferons les deux hypothèses suivantes :
1** La fonction jx' reste finie et continue ; on peut alors trouver un nombre A fixe tel qu'en tout point de la surface on ait :
lix'|<A.
2** La surface proposée est telle qu'une droite ([uelcon([ue iio la coupe qu'en un nombre limité de points ; nous appellerons X une limite supérieure de ce nombre.
Ces deux hypothèses nous fournissent une limite supérieure des valeurs du potentiel. Soit en effet dT' un élément de la sphère de rayon 1 considérée précédemment ; à cet élément correspou-
ii« TBEOMIE ÙC FOTE.rriEL yEWTO.riEX
d^nt plosîi^ors éléments de la daoble couche en nombre moindre qoe N> et par soi te plnsîears éléments de l'intégrale :
Désignons par Z a' d? la somme de ces éléments : on a :
|ïud^J<XAdT.
et par conséquent :
[V|<r>Ady, c'est-à-dire :
Cela posé, considérons une double couche quelconque S
Fi^. ::.
' fig. 77^. Soit M le point attiré; supposons que ce point tende vers un point M^ de la surface oii la densité est ;jl^. Posons
(/est le potentiel d'une double couche dont la densité est constante. Comparons ce potentiel à celui de la double couche donnée :
V=jydT'.
Pour cela, envisageons Tintégrale
On a :
Xous savons comment se comporlc la fonction W; elle a été étudiée au paragraphe précédent.
Ktudions la fonction U et voyons comment elle se comporte
DOUBLES COUCHES iig
quand M tend vers ^l^. Cette fonction est un potentiel de double couche dont la densité est variable, mais présente ceci de particulier qu'elle est nulle au point M^. Xous allons montrer que ce potentiel reste continu quand le point M tend vers M^.
Du point Mç comme centre décrivons une sphère de rayon p. Cette sphère partage la surface S en deux parties : Tune S' est comprise à l'intérieur de la sphère, l'autre S'' est constituée par le reste de la surface S.
Appelons U' et U" les potentiels dus respectivement à S' et S" ; on a :
Désignons, en outre, par Uy, U'^, U'',, les valeurs de U, U', U'', au point M^. Xous voulons démontrer que l'on a
lim|U— Uyl =
«juand M tend vers M^, c'est-à-dire que l'on peut prendre M assez voisin de M^ pour satisfaire à l'inégalité
^ étant un nombre donné à l'avance aussi petit qu'on le veut. Pour cela, remarquons que l'on a
U-U, = U'-U', + U"-U''„ ^l'où :
Cl) |u-u;i<|u-u',|+iu"-u",i.
Cela posé, observons que, jjl' étant fini sur la surface S, jx' — jjl, l \st aussi et que l'on peut assigner au module de cette différence Vi.ne limite supérieure a sur la surface S' ; on a donc, en tout ï^oint de S' :
^'où, en vertu d'une inégalité démontrée plus haut :
lU'|<47:Xa
|U;|<47:Na.
Comme jx' est supposée continue, on peut restreindre assez la
:: •-> TBÉOBIE DU rOTESTÏEL yEWTOyiEy
>'it{^c^ S'. c"e*t-à-<Iîre prendre p assez petit, pour que l'on ait
et qaaînsî Ton ait :
2 |i-iM<-3--
t: étant ainsi fi\ê, la surface S' est bien déterminée ainsi que la surface S . Considérons alors la diflerence U" — L"' ; la fonctîon U . étant le potentiel de S", est holomorphe en tout point <|ui n'est pas sur S ' et en particulier au voisinage de M^ ; on peut donc choisir le point M assez près de M^ pour que Ton ait :
iu'-uM<^
Kappn>chons alors les inégalités ^2) et (3} de Tinégalité (1); on \oît que Ton a :
l.a fonction l* reste donc continue au voisinage du point Mj, c ost-à-dirc quand M tend vers M^ et le dépasse.
Remarquons que M peut tendre vers M^ de trois façons :
l* Kn restant extérieur à S, et du côté positif ;
2** Ka restant extérieur, et du coté négatif;
,V* Kn restant sur la surface.
