I.a démonstration précédente s'applique dans ces trois cas
Uovonons maintenant à l'expression de V :
Puisque l' reste continue au voisinage de M^, V éprouve en ce point les nuMnos discontinuités que \V. Ces discontinuités ont été otmlièos au paragraphe précédent ; servons-nous des résultats de colle élude» nous obtenons pour V les conclusions suivantes :
V Iauhuuc li* point iitttrè J/, c/Vi/>or</ extérieur ù la surface, se lA/^/iirt» et il /rwivr.ve cvi un point oii la densité est jx^, le païentict i/e /il ilouhle couchr croit hrust/ucment de ^- )k^ si le point M ihisssc du côte nc^iitifau cote positif de la surface.
DOUBLES COI'CIIES a3i
2** Le potentiel d'une double couche reste continu sur la surface, 3** Sa chaleur, en un point de la surface, est la moyenne aritli^ métifjue des valeurs qu'il prend en deux points infiniment s^oisins du premier y mais situés de part et d'autre de la surface.
104. — Le premier de ces résultats, que nous venons d'établir directement, pouvait être obtenu immédiatement comme conséquence de la théorie des surfaces attirantes.
Nous avons démontré plus haut, en eflct, la formule suivante (99) :
l',, U,, U, étant trois potentiels de simple couche :
aV'dh>'
■/a'do)
Supposons que le point M, d'abord extérieur à la surface S, tende vers un point M^ de celle-ci et la franchisse en ce point ;
les dérivées premières . ' , . * • , , -- éprouvent des disconti-
Ox Oy oz *
nuités (voir n" 51).
(les discontinuités ont pour valeur :
pour ' — 47:a'[JL'.a' = — 47:a'*|jL'
,) -^ — 47:3V.3' = — 47r3'»ui'
» ^ " — ^7^^^^',^ = — 47rv'2|/.
dz â i 4 . »
Le saut brusque de V est donc :
4 V (»'*+ P + i') =47:;jl'; c'est la valeur trouvée précédemment.
ïl» THEORIE DV POTESTIF.L yEWTOSlES
IIemarql'k I. — Nous nvons appelé « densité >■. dans re qa prcci-dp, In quantité ^' ; en rénlité, la densité de la double coueb est le quotient de ;a' pur la qunntité très petite z qui leprcsenfc l'épuisseur de In dunble couche. Maïs, pour simplifier, nous con linueruns îi donner le non) de densité si la quantité |x'.
Kemarqve II- — N<ius avons vu, dans la théorie du potentiel des simples couches, qu'un tel potentiel reste continu diiiis toal l'espace, m^me quand on IVnnchit la surfnce. On peut s'étonnei de ce que le potentiel d'une double couche éprouve une discon tînuitc quand ou IVnnchit In surface, une double couche n'étant en somme que l'ensemble de deux simples couches très voisines^
Oln s'explique bien l'aeilement. Appelons S, et S, les deux simples couches très voisines et soit c leur distance. Quand on l'ranchit la surface S,, puis la surface 8,, le potentiel reste c tinu, mais il varie très rapidement entre S, et S,; en elFet, le* attractions des deux surfaces s'ajoutent dans l'espace qu'ellei comprennent et, comme on suppose la densité très grande, !■ dérivée du potentiel est très grande elle-même dans cet espace. La variation du potentiel est alors d'nutnnt plus rapide que la distance £ est plus petite.
Kn général, on suppose cette distance infiniment petite et li densité inûniment grande, de manière que le produit ;*' de ce» deux quantités reste fini; on considère alors les deux surfaces ^ et S, comme confondues avec une même surface S. Dans ce cm limite, qui n'est qu'une fiction analytique et ne correspond plm i) rien de physique, on s'explique bien la discontinuité du poteu' tiel ainsi obtenu.
Ajoutons que ce qu< c'est le côté déiini pai
l'on appelle alors côté positif de la surface les cosinus directeurs a', p', V qui entrent
dans l'expression de V.
105. Etude des dérivées secondes d'un potentielde simple couche Cas d'une surface plane. — Nous avons vu qu'un poleiiliel double couche s'exprime par des dérivées premières de potent de simple couclip. L'élude des dérivées premières d'un polentîi de double couche se ramène donc ii l'élude des dérivées secondef. d'un potentiel de simple couche.
C'est cette dernière étude que nous allons faire maintenant. Nous commencerons par un cas simple, celui d'une surface plane.
Soit donc S une portion de surface plane attirante limitée par une courbe C.
Prenons ce plan comme plan des xy. Appelons U le potentiel ; on a, en conservant les notations habituelles :
r [jL'dw
Ce potentiel est une fonction paire en z, c'est-à-dire qui ne change
w ' pas quand on change z en — z. Par suite, la dérivée première -r—
est une fonction impaire et la dérivée seconde ^ ^ une lonction
^ Oz*
paire.
Prenons alors deux points symétriques par rapport au plan des
xy; les deux valeurs correspondantes de ^sont égales et par
conséquent tendent vers la même limite quand les deux points
tendent l'un vers l'autre. La dérivée seconde . . reste donc con-
Oz*
tinue quand on franchit la surface.
Au contraire, la dérivée première -r — éprouve une disconti-
oz
nuité et fait un saut brusque égal à 4710.'. Quant aux dérivées tan-
gentielles, elles restent continues. Montrons -le par exemple
OU pour -t; — ; on a :
* Ox
OU
ce qui peut s'écrire :
OU ôx
— / ?- — r-r- dx'dv c/ * Ox'
ou, en intégrant par parties,
OU r JaVIv' /' Oa' dx'dv'
»Jî TUÉOttlE DV POrK.VTfEL -Tff HTO.V/£jV
La prcmîcre de ces deux Jernières mlL'gntles est une intégrale curviligne étcudiie au contour C; la secunde est une înlégrule de surface étendue ii l'aire attirante S.
L'intégrale curviligne est un potentiel de ligne attirante et reste êvidcmnieiil continue quand on traverse la surface en un point ([ui n'est pas situé sur le contour c;.
L'intégrale de surface est un potentiel de surface qui reste continu dans les mêmes cunditiuus. On peut donc conclure que -^ — reste continu quand on traverse la surface, sauf, peut-^lrc, au voî- Binage du contour limite. La même démonstration s'applique . lU"
Homme on le voit, cette démonstration su|)pose c[ue la densité [t' est continue et admet des dérivées premières.
iiintenaiit les dérivées secondes de V.
