VU
est donc elle-
Tout ceci qui restent li
DOUBLES COiCUES
106. Cas d'une surface attirante quelconque. — Soit S une surface attirante quelconque (fig. 78j, M^un point delà surface, M le point attiré qui tend vers ce point en suivant la droite ^IM„.
Prenons le point M^ comme origine des coordonnées; nous supposerons que la surface admet en ce point un plan tangent bien
Fig. :8
déterminé que nous prendrons comme plan des x y, et des rayons de courbure principaux bien déterminés; enfin nous nous placerons en coordonnées rectangulaires.
Reprenons les notations adoptées au paragraphe 40; soit P un point quelconque de la surface et P' sa projection sur le plan des xy. Menons les droites MP, MP', M^P, M^P' et posons :
MP = r ; MP' = r' ; M„P = r, ; M,P' = r;.
Appelons x, y, z les coordonnées du point M et \\ y', z' celles du point P; on a :
r» = (x - x')' + (y - y')* 4- [7. r" = (x — x')' + (y— yT + i'.'.
zy
Si, maintenant, on désigne par d(o' un élément de S, par dx'dy' sa projection sur le plan des xy et par a', |i', *•' '<^s cosinus diroc-
iî* TMEOmiE BV FOrESTIEL AT ITrO.V/f .V
tr^urs d^ la normale à la surface en on point quelconque P de celle-cî. le potentiel l' au point M pourra s'écrire :
,• !j.dti» t* 'Jt-dx'dv'
Posons :
Iji l'onction l* est le potentiel en M d'une portion de surface
plane attirante, la densité étant représentée par la fonction -^— ;
cette surl'ace plane est la partie du plan des xy qui comprend Fensenible des projections des éléments dw* de S.
Nous avons fait« dbns le paragraphe précédent, Tétude de la fonction U ; nous allons v ramener celle de la fonction U.
Piftsons pour cela :
et étudions la fonction \V.
Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons que la densité ii' est continue ainsi que ses dérivées premières et qu'elle admet des dérivées secondes qui restent finies. Nous avions déjà fait cette hypothèse pour faire l'étude des dérivées secondes de U'.
ilousidénms une dérivée d'ordre quelconque de W; appelonsla \)\\ pour abréger : elle sera de la forme :
DW =(\; x,v' dxdv.
Supposons 4|u'ou ait démontré l'iuécralité :
k étant un nombre positif quelconque, mais fixe; je dis alors que DNV tend vers une limite quand M tend vers M^ en suivant
la droite MM^.
Pour le voir, traçons dans le plan des xy un cercle C de rayon z avant M^ pour centre: ce cercle est la projection d'une ligne C tracée sur S et entourant M^,. La surface S est ainsi partagée en deux parties S et S , S étant celle 4|ui contient M^.
DOC BLES COI'CIIES l'i'
Pour tout point de S' on a : r^' < p, et pour tout point de S" :
A chacune de ces parties correspond une fonctionW; appelons AV et W" ces deux fonctions; on a :
