W = W + NV

DW = DNV-f D^V".

Ola posé, remarquons qu'en vertu de Tinégalité (1), on a :

kdx'tly'

I DW 1 < fJ^

Cette intégrale est étendue au cercle limité par la circon-

lerenceC; transformons-la en prenant des coordonnées polaires;

posons :

x' = ri cosO ; y' = \\ sinfl.

L'intégrale peut alors s'écrire :

r±i^=krrd.ido=^2.k?

et l'on a par suite :

C2) |DNV|<2irk?.

Observons d'ailleurs que, la fonction '^ satisfaisant ii l'inégalité (1), l'intégrale

DW=r©dx'd/

a un sens au point M,,; appelons alors D\Vy sa valeur en ce point et DW/, WW„" celles des fonctions D^V, D^V'' an même point. On a évidemment :

DW — DWo = 1)\V — DW;+ 1)\V' — DW;

d'où :

1 DW — DWo I < 1 DNV— DW; | + 1 D W— D\V;

Or, je me propose de montrer que l'on a :

lim(DW— DW;=()

iiS THÉORIE DU POTEyTIEL yEn'TOMEy

([uaïul le point M tend vers M^, c'est-à-dire que Ton peut choisir le point M assez voisin de M^ pour que Ton ait :

1 DW - DW, 1 < e,

£ étant un nombre posàlLf donné aussi petit que Ton voudra.

Kn vertu de l'inégalité f2)> ii laquelle DW^ satisfait aussi, on peut choisir z assez petit pour q«ft Ton ait à la fois :

IDNV|<-^

lD^v;^<^,

et par conséquent :

IDW — Dw;|<4l.

t tétant ainsi fixé, les domaines S' et S" sont bien délimités et l'on peut prcndrt* le point M assez voisin de M^ pour que l'en ait :

linv — DWo'i<-^.

rola est possilde car, le point M^ étant extérieur à S", la fonction \\ est holomorphe au voisinage de ce point. 1 il position do M étant ainsi choisie, on a :

;o\v — ow.i<£.

\\ oxt ainsi doniontrt* que la fonction 1)W tend vers la valeur 0\\ . qn^oUe a au point M^, quand M tend vers ce point, et cela, quoi quo soit lo chemin suixi. Cette fonction reste donc continue quand on franchit la surface.

>i nno tonotio\i • satisfaisant à une inégalité de la forme :

o>t dite ,j\^»\/*v *.\ îc thcoivme pr^H^edenl pourra s'exprimer ainsi : quand on franchit la snrlace. une dérivée DW reste cont'nno >i la îonction >ons le si^^no | est dordre l.

DOIIILKS COVCIIES a Î9

Hemarqve. — On peut énoncer les deux propositions suivantes qui sont évidentes :

I" Le produit de deux fonctions qui sont respectivement d'ordre m et d'ordre n est d'ordre ni + n.

2" I/inverse d'une Tonction d'ordre 1 n'est pas lorcénient d'ordre — 1.

107. On peut énoncer dans ce langage tous les théorèmes (établis (chap. 111) sur les surfaces attirantes. Par exemple les inégalités du >:( 40 montrent que :

z' est d'ordre 2

— et — T sont d ordre 1

—7- est d'ordre

y- — , sont d ordre 0.

Kn général le rapport

',X X ." iV — V . Z Z /

OÙ l'on suppose m+p>a + b+c, est d'ordre

etc.

(lonsidérons maintenaut la fonction \V envisagée précédemment ; elle a pour expression :

(Calculons-en les dérivées premières et secondes ; pour cola, calculons d'abord les dérivées de — et de —7- . On a :

,, 1 3(X' — X)=^ 1 ,^ 1 :Ux' — X) Y— Y)

r£.£jjis jc ?'^rj7rrxj. iir-rijnr

If llt*Tltf

. l — -îi> — xz

rt — = =

"«L 1 X»MUC

rU - 1 l •

fW - 1 l , .

Ico

x^\xn * * l- " ' r* r* . J

-. ( Jl I,» \ \ 1 J r-l Idb»

'^^^ / r^ '-' ML

Ito

DOUBLES COUCHES i\\

Je vais démontrer les propositions suivantes :

1® Quand on franchit la surface, les dérivées premières de W restent continues.

2** Au contraire, les dérivées secondes éprouvent des discontinuités, sauf si la densité [jl^, au point où Ton traverse la surface, est nulle.

108. Occupons-nous d'abord des dérivées premières. (Considérons -^- — ; la fonction sous le signe / est :

(2'est un produit de deux facteurs; le premier, [x', est d'ordre zéro. Montrons que le second est d'ordre 1. On peut l'écrire :

...; ix'-.),.-r,[-J^+^+^].

Cette expression est la somme de trois termes. Le premier

est évidemment d'ordre 1; en effet : ' — ;— est d'ordre 0; de plus

r' — r est d'ordre — 2, car on a :

1 , . (x' x) (r' ri

enfin — T- est d'ordre 3; le produit '-—— '- est donc

d'ordre 1.

Il en est de même pour les deux autres termes de l'expression

1 et l'on voit bien que '^ est d'ordre 1. La dérivée est donc

* ùx

continue quand on traverse la surface et cela est vrai quelle que soit la valeur de la densité au point où l'on franchit cette surface.

La même démonstration s'étend à — - — et , et la ])ropo-

si t ion annoncée pour les dérivées premières est entièicment prouvée.

Poi.NCAKÉ. Polenl. Newt. iG

i.z i.z 2^ ? irurisi f^Tr jttx.''

? •fcs«fla2> iL.«iarc-aaar la ra» ■£»** -Itt'Iv.*^*^ *i*^».»G«i^^. Ntms

* tvi rwî^fTMr -jk 'tti-atr f^ïT Milff. l«f* ■îi*r{v.***^ «•*^c»a.'i^-5 restent

'rt\

mt- L fjt**.

pa- •f!L'fînp-..f : la iMDctîon

nt des dérivées *t d vrdre — 1 ao «:#r entre crochets

— '~" ~^= r^- î=T" iT-- rr' ;

1 SUÏ*4

r-r- rr' '

i ;<i;;«i - ''.• "i ~^- - -"•.<i'i-^ «otsôàt-r** p^st donc s'écrire :

rr- rr^ '

Hâ ,"^IVVt^î

DOl'BLES COrC/IES a43

Chacune des sommes de Texpression (3) est d'ordre 2 ; en effet, un terme quelconque de la première est de la forme :

3(x'— x^Vi-' — r)

^-^ terme est d'ordre 2 car 1® -^ j-^— est d'ordre m + n — 2=4;

2** (r' — r) est d'ordre — 2 puisque l'on a :

^* cjue z' est d'ordre — 2 ; l'expression (4) est donc d'ordre ^^ — > 2 = 2.

Href, la première somme de l'expression (3) est d'ordre 2 ; la seconde est d'ailleurs aussi d'ordre 2 car tout terme de la forme

■"-^^^-^ est d'ordre p -f- q — 2, c'est-a-dire dans le cas présent

Ainsi l'expression (3) est d'ordre 2, la fonction z est donc

^ ordre — 1 + 2 = 1 et par conséquent la dérivée ^ est con-

tinue.

Le même raisonnement s'applique aux autres dérivées secondes ^^ W et la propriété annoncée est donc démontrée : les dérivées ^^f^ondes de W restent continues quand on franchit la surface en "^ point Mq où la densité est nulle,

110. Revenons alors aux potentiels U et U' considérés au para- K^aphe 106 et supposons nulle la densité au point M^oii Vonfran- ^'*i'l la surface. Nous avions posé ;

La fonction \V considérée dans cette relation est précisément Celle que nous venons d'étudier et, par suite, les dérivées secondes de U, quand on franchit la surface au point ^I^ éprouvent les mêmes discontinuités que celles de U' puisque celles de W restent continues.

Or U' est le potentiel d'une surface plane attirante sur laquelle

:.: TULOhlL bl r OTEMIEL y£nrOME\

la i\*'Tk>\X*: *-n chîique point x . % e>t r^-pi^^entf:*^' par la hmctit»^

\«»uf av*in< ♦-tudie au paragraphe 105 comment >e compor un pareil potentiel au voisinage de la surface. Reportous-no aux rr-sultats de cette étude : nous vovuns que lorsque le point ]^

franchit la surface au invint M., les dérivées secondes : -r— 7- -

,vr ,vi iVL

— — r . -T — . r-TT- restent continues : les autres éprouvent de^

discontinuités. Le saut brusque de est égal à

— 4- — r-:^ et Celui de . - à — 4— — -^, — .

ox M'OZ Ov

Puisque les dérivées secondes de U éprouvent les mêmes discontinuités que les dérivées secondes de l' ,on peut donc énoncer les conclusions suivantes :

{^u.:n.{ un fH>în: iiftirë M franchit une surface attirante en un

i'o:n: M i h /=; */c«>-//<' est nullcy quatre dérivées secondes y -:r—r ♦

^ ' Ox'

- - — , -- — et ^ - . if M iH»tentie( L de cette surface restent contt-

^\' y^t' OXOV ' '

•;:,t*s: ..> .:<*•..• .k..'ys licn^^ccs seconaes • , -—-— éprouvent

oxoz ovOz '

.îVs ,;\>*\v:.':v\;:»N ; .V .<.?#// i'rusffue de la première est

-^ i- - • <*: ,v, .%. ;«' L: .<Ctonde — At: — -^-j — v*V *»v

l\ouuu\|uons que \ est e^ral à l et maximum pour x' = tt \ 0. On a donc ;\u point M^ :

DOVDl.ES COVCIIES a45

Par conséquent, les sauts brusques considérés se réduisent ù :

ôx' et

111. Pour traiter la question d'une façon complète, il nous reste à examiner le cas où la densité au point M^ est différente de zéro.

Nous conserverons les notations précédentes et nous supposerons toujours la surface attirante réduite h une petite calotte S' limitée par une courbe C qui se projettera sur le plan des xy suivant une courbe C; cela est légitime, parce que le potentiel de la partie restante de la surface est holomorphe au voisinage de M^, et n'influe pas sur les discontinuités du potentiel total ; nous supposerons en outre cette calotte d'étendue assez restreinte pour qu'une parallèle quelconque à l'axe des Z ne la rencontre qu'en un seul point.

Nous avons supposé dans les paragraphes précédents que la surface S' admet en M^ un plan tangent bien déterminé que nous avons pris pour plan des xy. Nous avons supposé, en outre, qu'au point Mq la surface possède deux rayons de courbure principaux

bien déterminés, entendant par là que les expressions -rr- et -yr-

(le leurs inverses sont bien déterminées pour ne pas exclure le cas où l'un de ces rayons ou même tous les deux seraient infinis.

Soit alors

l'équation de la surface; désignons les dérivées premières et secondes de z' par les notations suivantes :

dz' dz'

dx' P" Ov' *ï''

d'z' Ox"

a 16 THEORIE DV FOTEXTiEL ^EWTOSlEy

Ola posé, considérons le potentiel U de la surface ; il a pour «•xpression, en un point M^ extérieur :

On peut l'écrire :

U = / -^ — dx dv'.

O sont les dérivées secondes de U que je me propose d'étudier.

Ktudions d'abord ^ . : pour cela, calculons -^^ — : on a :

Ox* *^ Ox

^= / JL J dxd%^.

dx ^ Y ^^

Or on a :

(Considérons r comme une fonction de x, y, z, x', y', c'est-àdire supposons, dans l'expression de r, z remplacé par sa valeur en l'onction de x' et y'; on a, dès lors, la relation :

ou bien

d'où :

Ox'

dz P"

-r— prend alors la forme :

(2) ...iH.__ / Ji.î dvdv' / J^— L-pdx'dv'

DOl'BLES COVCIIES

ou bien :

en posant

(Considérons Jj ; cette intégrale peut s'écrire en intégrant par parties :

dx'dy'.

Or, appelons du>' un élément de surface de la calotte S' et ds' un élément de longueur du contour C qui la limite ; ou a :

dx'dy' = y'<1*^' dy' = ?'.ds',

% étant une certaine fonction de x' et y' définie le long de C. La formule (4) devient alors :

ds'+

da>'.

I/intégrale J, est ainsi mise sous la forme d'une somme de deux potentiels.

Le premier — / — i — ds' est un potentiel de ligne attirante, celui qu'engendrerait une distribution de matière attirante faite

'i48 TllÉORJE DU POTENTIEL SEWTOSIES

sur le contour (^, la densité linéaire étant représentée par la Jonction — ' J/ ; ce potentiel est une fonction holomorphe au voisinage de M,, puisque ce point n'est pas sur le contour C

Le second potentiel / dto' est un potentiel de

surface, celui qu'engendreraient des masses attirantes distribuées

sur S', la densité superficielle étant représentée par la fonction

'^ — r-^^ — . Ce potentiel reste continu ainsi que ses dérivées tan-

gentielles quand on franchit la surface.

La somme J, des deux potentiels précédents reste donc continue ainsi que ses dérivées tangentielles. Il en résulte, si l'on se

reporte \\ la formule (3), que — - — et ses dérivées tangentielles

-T— 5- , ^ ^ éprouvent respectivement les mêmes discontinuités,

quand on franchit la surface au point M^, que l'intégrale J^. Etudions donc J^. Cette intégrale peut s'écrire :

Posons :

r=rj!i!^

do>'.

On a évidemment

di.

OJ.

'La fonction V est un potentiel de surface attirante, celui qu'engendreraient des masses distribuées sur S', la densité étant repré-

DOUBLES COICUES 219

seiitée par la fonction PjJjl'. Or, cette densité s'annule au point M^, car le plan tangent en M^ étant le plan des xy, on a en ce point :

nous sommes donc ramenés au cas étudié dans le paragraphe

précédent. Nous savons comment se comportent les dérivées

premières et secondes de V quand on franchit la surface en M^ :

dV ^ . ô*V . . , , , .

-:r — reste continue ; -^r-r — • lait un saut brusque effai a

4- — V-^ — — et -T-^; — un saut brusque égal à 4:: — ^^ \ ' .

On peut donner à ces discontinuités une expression très simple en remarquant que p, et q, sont nuls en M^ et qu'en ce point v' est égal il l ; on a :

ôx' » Ox'

dy' ' dy'

Ainsi donc, quand on traverse la surface en M^ :

, dV 11 . ^^'

1** — ; — reste continu ; donc J^ et, par suite, -^r — restent conti- Oz Ox

nues. Ce résultat était déjà connu (voir § 50).

2" -r — r— et, par suite,- , ^ font un saut brusque éifal ii 47:'jL'r, ; Ox Oz ^ Ox 1 b à 1 '

-:— -r fait donc aussi un saut éi^al à 47::jL'r,. Ox* ^ * *

., o«v . oj, ,, oh: .

o** -r — r— et, par suite, ^ et ennn ^^ — r— lont un saut brusque OvOz Ov OxOv *

égal à 4:r[JL'Sj.

Les mêmes calculs appliqués à nous auraient montré que