Corn
■ examiner le cas oii l'on a :
qu\.!k
?\vl(jniens Lche, por-
Je dis (|ue l'on peut afliriner silors qne V est idenliqiienient nulle.
V.w efl'et, triiçons deux surfaces fermées S,' cl S^', tri:s voisines de S, Tune Intérieure, l'autre extérieure (fig. 80). Soil, de plus, ï une grande sphtre de rayon R entourant S. Appelons T,' l'espace compris h L'intérieur de S/ et T,' l'espace compris entre S,' et S.
On a. en vertu de la formule de Green :
c/(s'.) dn J(t'.)^\ <^x /
Fi g. 80.
les dérivées -j — étant prises toujours suivant la direction de la normale extérieure h la surface sur laquelle on intègre. L'intégrale :
c'/s'. dn
THEORIE DU POTESTIEL SEWTOSIEN
tend vers une limite déterminée :
cS dn
quand S/ tend vers S en passant par une série quelconque de formes. Cela prouve que l'intégrale :
a un sens. Il fallait le montrer, car on ne sait rien a priori de ce que deviennent les dérivées :
ÔV dV dV dx dv dz
sur S. Tout ce que l'on avait supposé, en effet, ne concernait que la dérivée :
dV
* Oz
en désignant par a^ ^3, y les cosinus directeurs de la normale extérieure à S.
Finalement, on a :
<s) * du .''(T,)^\ à\ J
Voilà un premier point.
Prenons maintenant l'intégrale :
dV
/jv) dn
doy
et supposons que le rayon R de la sphère S augmente indéfîninient. Puisque V se comporte à l'infini comme un potentiel new tonien, on peut écrire, dès que R est assez grand :
dV dn
Soit, d'autre part, une sphère Q de rayon 1 concentrique à 2
RÊSOLUTIOy DU PROBLÈME DE DIRICULET 26
Appelons ài un élément infinitésimal de û. On aura :
r.. dV , A MN r . ^,,
,^ dV - , I 4'irM\ V — ; — dw <
(S) dn I R
On voit que Tintégrale étudiée tend vers zéro quand R augmente indéfiniment.
Cela posé, l'intégrale :
./{Si dn tend vers une limite déterminée :
*/(S) du
quand S/ tend vers S en passant par une série quelconque de formes.
On conclut de tout cela que l'intégrale :
J{'^i)Za^ ^^ /
a un sens. On a :
en vertu des remarques précédentes.
On déduit de là la relation :
l'intégrale triple étant étendue à tout Tespace. Mais :
dn ^ du
à cause des hypothèses fiiites.
D'où :
266 THÉORIE DU POTESTIEL SEWTOSIES
(]ela prouve c|iie l'on a :
i^x Oy î)z
en tout point de Tespace. Donc :
Or V s'annule àrinfinî. Par conséquent :
