H-TT
et ce développement est valable pour :
IIo est une constante. Voyons son signe.
D'abord on ne peut pas avoir :
car, pour R très grand, c'est cette constante (|ui donne son signe à G. Or, nous savons que G est positif à l'extérieur de S. De plus je dis qu'on ne peut pas avoir :
En effet, si cela était, ce serait 11'^ qui donnerait son signe à G pour r très grand. On devrait donc pouvoir écrire :
Or, posons :
772 THEORIE DV POTESTIEL KEWTOSIE.y
On a :
J XpXqdT=0,
si p ^<|, riiitégrale étant étendue à tous les éléments de la sphère de rayon 1. Prenons :
On déduit de là :
Jx;dT=o.
Donc \\j et par suite \\[ ne peut pas avoir un signe constant. Donc rio ne peut pas être nul.
On conclut de tout cela :
égs.
ilitc étant
exclue.
Or
uu :
dC th-
Lors(pie r est très grand, c'est 11^ qui donne son signe. On a :
ar
pour r très grand.
(^ela posé, si Ton appelle M la niasse totale de la couche attirante répandue sur S après le balayage, on a :
477 J ^ cin
On peut écrire .
\î 1 r ^IG l /' dG . . 1 /* dG , ,
•17: J^s. du 'iTT/^v) dr ^*"Jv) dr
HÉSOLlTIOy DU PROBLÈME DE DIRICIILET 273
Or la différence des deux premières intégrales est égale à 1. Quant à la troisième intégrale, nous venons de voir qu'elle est négative dès que r est assez grand. On a donc :
l.a masse totale a diminué par suite du balayage.
Tout ce que nous venons de dire s'applique encore sans modification si les masses primitives considérées, au lieu d'être condensées en un point, sont distribuées d'une façon quelconque.
123. — Pour pouvoir faire le balayage d'un domaine T, il faut deux conditions :
1° Savoir former les fonctions de Green G relatives à ce
domaine.
dC 2** Savoir que i —z — existe et est întégrable sur le bord du
domaine T.
Ces deux conditions sont remplies s'il s'agît d'une sphère. On sait donc faire le balayage d'une sphère.
Avant de montrer les conséquences que l'on peut tirer des théorèmes précédents, nous allons revenir sur quel([ues-uns de ceux-ci en nous plaçant dans le cas particulier où il s'agit du balayage intérieur d'une sphère.
124. Balayage d'une sphère. — Soient (fig. 81) une sphère S de centre O et de rayon a. Appelons M un point situé à l'intérieur de la sphère et M' un point situé au centre de gravité de rélément dw' de la surface de la sphère. Posons :
OM = p, OM' = a, i\I\r=:r.
Imaginons maintenant dans l'espace une distribution de matière attirante pour laquelle la densité soit [ji au centre de gravité de l'élément de volume dT. Désignons par V le potentiel ainsi engendré. On a :
en appelant V, le potentiel di\ aux masses intérieures à la sphère et Y, le potentiel dû aux niasses extérieures. Le balayage a pour
poiNCARÉ. Polcnt. Ncwl. iS
TUEORIE DU POTESTIEL yEWTOyiES
effet de remplacer chaque masse jjlcIt située à l'intérieur de la sphère par une couche équivalente répandue sur la surface et ayant pour densité en M' :
a* — 0* 11 résulte de là que la densité en M' de la couche équivalente
Fi^'. 8i
linale, une fois qu'on a terminé le balayage, est donnée par l'intégrale triple :
* J ' 47:ar*
étendue à la sphère considérée. Posons alors :
Kn supposant ;j.'>0, on a :
D'où :
D'autre part :
Prenons :
U, = Vj... il rextérieur de S Uj < V,... à rintérieur de S
On a finalement :
U = V... à Textérieur de S U < V... à rintérieur de S
et d'ailleurs U est positif et continu dans tout l'espace.
Les mêmes conclusions sont encore vraies si V est un potentiel dû à des distributions superficielles ou linéaires. On le dénion-
Fig. 82.
treraît exactement de la même façon. Nous n'insisterons donc pas davantage sur ce point.
125. Théorème de Hamack. — Soit une sphère S de centre G et de rayon a. Prenons un point M a l'intérieur de la sphère et posons (fig. 82) :
yf% TMÉOBiE ar FOTEyTIEL yEWToyiEy
l«>asîd*^roii5 maintenant ane saite QHiiiitêe de roncltons :
larmonîqnes et positives dans S. Désignons par :
les valears de ces l'onctions en an point M' situé aa centre de gravité de Télément d«* de la surface de la sphère. N«»as avons prouvé }i 91 que, si la série :
est convergente, sa somme :
est une fonction harmonique dans S.
On a :
dco'.
en posant :
MM =r.
Soît alors une sphère Z concentrique à S et de rayon h inférieur à a. Supposons que le point M soit à l'intérieur de S. Posons :
4T:ar
On a :
et :
Appelons B^ cette limite supérieure de h. On voit que Ton peut
ce rue :
