V. < B,/, v;dto
Si donc la série :
Ç v;dci>'+rv;da)'4-...+ r v;doi'4-...
est convergente, la série :
Test elle-même, et sa convergence est uniforme.
Nous avons vu (§ 97) que Ton peut aussi assigner une limite supérieure B, aux trois quantités :
dx
de
dz
Donc les séries :
dx
dV,
n ùV.
dz
sont absolument et uniformément convergentes quand la série :
ZJ(S)
fa)
est elle-même convergente.
Il en est encore de même pour les séries :
dx*
d'V, dz»
^ dydz d'V,
dzdx
L^ dx()y
et en général de toutes les séries déduites par dérivation terme à
terme de la série :
(2ela se voit toujours par le même procédé.
Nous avons conclu de tout cela, au paragraphe 97, que la fonction V est harmonique à l'intérieur de la sphère, si la série :
est convergente.
m fe «a. %
;;« TBEORtE DU POTENTIEL SEWTOStES
Nou5 voulons aller un peu plus loin à présent et montrer que la st'rie :
est convergente, si la série :
est ct>nvergente en un point M^ de la sphère. 126- Appelons :
les \aleurs des fonctions :
au ptÙHt M^. Posons d^aîlleurs :
OM. = ?., M.M' = r..
r y - pv Y;dco- ^» — r t:;^^
Mais on pout écrire Tinégalité :
ou :
ce *|ui donne :
et en lin :
4Trar% 4tui a-f-p^)'
^Tra a-f-t^ - /s-
/ V>o<NV".,
en posant :
(>r, par l^vpo^h^se, la série :
VVO
est convergente. Donc il en est de même de la série :
et, par suite, la fonction V est harmonique.
127. Considérons un domaine T limité par une surface fermée S. (le domaine est supposé connexe, mais d'un ordre de connexion quelconque.
Soit une suite illimitée de fonctions harmoniques :
définies et positives dans T. Je dis que, si la série :
