IV

est convergente en un point M,^ de T, elle est convergente en tout jpoint de T.

En effet, prenons un point M quelconque situé a l'intérieur de T.

Fig. 83.

Si le point M est contenu dans une sphère qui renferme aussi le point M„ et qui soit tout entière a l'intérieur de T, la proposition est évidente : en effet, chacune des fonctions \, est harmonique et positive dans cette sphère, en sorte qu'on est ramené au cas étudié dans le paragraphe précédent.

Supposons maintenant (fig. 83) qu'on ne puisse trouver

jHo

THKOniE DV POTESTIEL SEWTOyiES

aiiriiiu* <i|>h^I'e remplissant les conditions prescrites, mais qae

U^u |UM^^** tu^\»\oi vliux r uu jHMiit M. toi iju'il oxisto deux

RÉSOLl'TION DU PROBLÈME DE DIRICHLET 281

sphères, Tune contenant M,, et Mp Tautre contenant M^ et M, et toutes deux contenues dans T. Alors, en vertu de la reinanjue que nous venons de faire, la convergence de la série :

en Mç entraîne sa convergence en Mj et celle-ci k son tour entraîne la convergence en M. La proposition énoncée est donc encore vérifiée.

Kn général, à cause de la connexion du domaine T, on peut tracer un chemin continu allant de M,, en M sans sortir de T. Sur ce chemin, il est manifeste cjue Ton peut trouver un nombre limité de points (fig. 84) :

tels qu'il y ait toujours une sphère contenue dans T et contenant à son intérieur deux points consécutifs M^ et Mn+i- La démonstration du théorème en ({uestion peut alors se faire de proche en proche. La série :

est convergente en M^; donc elle Test (^w M,, comme on le voit en considérant la première sphère. La convergence en M, entraine la convergence en M,, comme on le voit en considérant la deuxième sphère. En général, la convergence en M„ entraine la convergence en M„^p comme on le voit en considérant la 'n+l**) sphère. Il est clair «ju'après un nombre limité d'opéralions on sera assuré de la convergence en M.

128. Voici une importante application des théorèmes précédents.

Soit un domaine T limité par une surface fermée S. Considérons une fonction <b délinle et continue en tout point de S. Nous regarderons cette fonction comme donnée. De plus nous supposerons qu'elle est positive et non nulle en tout point de S.

Cela posé, traçons une sphère li assez grande pour contenir toute la surface S à son intérieur. On peut toujours imaginer une

^Si

TBÉOHIE DV POTENTIEL XEWTOStEX

fonction U définie et cunlinue duns U. pusthi'« ri nuti null* le même domaine, prenant eiiiiii les valeurs 4» sur S. Donnons- nous maintenant une suite de nombres positifs

tels <|ue la série :

soit convergente. On sait qu'il est possible de constn suite de fonctions :

définies dans Q et holomorplies en tout point de ce dnni telle façon que l'on ait :

pour toutes les vuleurs de Tindice n et qu< iibsolumeut et uuîforntcment convergente ;

>uit lu fonction L' donnée. Ou peut, par exemple, s'arranger de que les fonctions I', soient des polvnômcs entier»

Supposons alors que l'on sacbe. po< l'indice n, former une fonction V, harnit sur S les mêmes valeurs que P.. On a :

■ toutes \v% valeurs di lique dans T et preiiau

Doi

: la

dont Ions les termes sont des fonctions barniouiques et positi dans T, est absolument et uniformément convergente en tout point de T. i'^n vertu du tbéurèmc de llarnack, nous concluons de là que la somme V de la série précédente est une fonction harmonique dans T prenunt sur S les vali

Soiiis voyons par là que l'on saura résoudre le problème rf«

Diridilet dan.t le c

i le plu,

■al dés

f/IIO

en supposant que la fonction chenhce prt valeurs qu'un polynôme donné.

aura le résoudre S les mêi

RESOLUTION DU PROBLEME DE DIRICULET -i^'S

Remarque. — Nous avons supposé pour plus de simplicité. dans la démonstration précédente, que la fonction donnée <P étail positive et non nulle en tout point de S. On peut toujours se placer dans ce cas pour résoudre le problème de Diriclilet.

En effet supposons que 4> ait un signe quelconque. Posons :

On peut toujours écrire :

On a :

Soit V une fonction harmonicjue dans T prenant sur S les valeurs M — 4> : nous admettons qu'on peut la déterminer. Cel:i posé, il est clair que la fonction :

M — V est harmoni(jue dans T et prend sur S les valeurs ^>.

129. Méthode du balayage. — Proposons-nous de construirr une fonction V harmonique dans un domaine T limité par une surface fermée S et prenant sur S les mêmes valeurs qu'un pol}^6me donné P.

Commençons par tracer une sphère Û contenant à son intérieui tout le domaine T.

Cela posé, il est possible de trouver une infinité de sphères 1}, formant une suite à indices entiers positifs et jouissant des prc!priétés suivantes :

1** Chacune des sphères Qj est tout entière intérieure à T.

2** Tout point de T est intérieur à Tune au moins des sphères ûj.

Concevons, en effet, une succession de nombres positifs :

décroissants et tendant vers zéro. Imaginons maintenant une série de régions :

s'enveloppant mutuellement et tendant à se confondre avec T.

TUÉontE UC POTENTIEL XEUTOSIEy

\m ipgioii B| par rxemple esl définie comme élaiil l'ensemble ■ tous les puînls de T dunt Ih dislance nùiiiniun) â S est siipérieifl a S,. Traçons une triple série de pluns parallèles aux plans coi duiiués, l'écartement de deux pluns consêculîrs de la ni^me s (•tant un peu inlérienr h — =- . La région R, est ainsi partagée I

un nombre limité de cubes dont lu diagonale est légèrement ti vieure il o,. Il est clair que ces cubes sont tous ïnléri D'ailleurs tout point de H, a|iparticol ii l'un de ces cube Appelons :

lu longueur de la diagonale d'un de ces cubes. A chaque i H, est attaché un nombre positif Ej inrérieur il 5,. Nous suppns ipie la suite :

soit convergente et ait zéro

Cela étant, du centre de

une sphère avant pour ra'

un nombre limité de siibèri

L-hacon des cubes obtenus, décrivœ [in ^|— TT- Nous construisons i

Toutes ces sphères sont intérieures ii T et tout point de It, intérieur il l'une au moins de ces sphères. Ku faisant la m£i opération pour chaque région R,, on obtient nne série de sphèi remplissant bien les conditions prescrites :

1° Toutes ces sphères sont intérieures ii T,

2" Tout point intérieur ii T, étant intérieur aux régions R).! partir d'une certaine valeur de i, est tiilérieur îi l'une au moial des sphères considérées.

•i" L'ensemble des sphères précédentes est dénonibrublé,i puisque l'ensemble des régions Ri l'est lui-même et qu'il ne cor* respond b chaque région R, qu'un nombre limité de sphères.

La proposition annoncée est donc établie.

Nous considérons les sphères U, dans l'ordre suivant :

de manière à considérer chacune d'elles une infinité de fois.

l RÉSOLUTION Dr PROBLÈME DE DIRJCIILET 28^)

130. — Prenons maintenant le polynôme donnr P et formons [ Texpression AP. Supposons d'abord que Ton ait :