AP

en tout point de û. Nous verrons ensuite comment on peut lever celte restriction.

Posons :

a'dT

et :

AP

On a :

[jl'>o, ^v„>o.

De plus, Wy est le potentiel newtonien d'un volu:ne attirant.

D'où :

AW, = — 47:;x'-=AP

en tout point de û.

Effectuons maintenant le balayage de chacune des sphrres 12^, en prenant celle-ci successivement dans Tordre indiqué. Soit Wj ce qu'est devenu le potentiel ^V^, après la i*" opération. On a é\'idemment, en vertu des propriétés du balayage :

\v. ^ Wi .

en tout point de û. D'autre part, on peut écrire :

puisque le balayage n'introduit jamais de masses négatives. Considérons la suite :

ys\\s\...\\\

Elle est convergente, puisqu'elle est l'ormée de termes tous positifs qui vont toujours en décroissant ou du moins qui ne croissent jamais. Soit \V la limite de cette suite : W est une fonction définie en tout point de Ih On a évidemment :

Kludioii!) les propriétés lir \\ .

Considérons une sph>>re Q, quelconque. Elle rsl h^ilayée Ul infinité de fois, aux opérations BHmérotées, pur exemple :

Klles TormeDl une suite convergente nviinl W pour limite. U*; leurs, on a ;

iW.. = 0... diinsU.

quel qu.

Tous les termes de cette série sont des roiictions liDrmoniqw diins 11. ; ces fonetions sont positives dnns le Riéme domaine, l'exception de lu première; enfin lii série envisagée est cnnvei gente en tout point de ii,. Donc, en vertu du théoi-émc de Haï iiack, lii ronctiun W est harmonique dans Q., Mais étant dona un point quelconque de T, on peut toujours trouver ui splù'i'e U, iiu moins qui contienne ce point à son intérieur. O vi)ll par lii (]ue la foiution Vt ext /inrruofiii/iie en tout point de T

131. Voyons quelles sout les valeurs prises par la fonction sur S,

Supposons que la surface S possède en chacun de ses poïnl un plan tangent unique et deu\ rayons de courbure principal bien déterminés. Soit M„ uu point de S. Voyons vers quel limite tend W quand le point courant M (x, y, z), d'abord situé l'intérieur de T, tend pur un chemin quelconque vers Mj.

En vertu des hypothèses que nous venons de faire, on pei construire une sphère S„ tangente extérieurement à S en M, Construisons une l'onction U jouissant des propriétés suivantes

I l'extériei iur S„

■ Je S„

RÉSOLVTIOy DV PROBLÈME DE DIRICULET ^8;

Sachant résoudre le problème de Dirichlet pour la sphère, nous savons former la fonction U.

On a évidemment :

en tout point M de T. Mais, quand M tend vers M„, U et \s\ tendent vers la même limite. Il en est donc de même de \V.

Ainsi \V prend sur S les mêmes valeurs que W^

Finalement, on a :

AW = 0... dansT W = Wq... sur S

pourvu que S ne présente aucune singularité.