CS

,1 ^^2,2 hj.i

â. Si , en parliculier, les éléraents h sont lespeclivemeiil égaux aux éléments a marqués des mêmes indices , alors le système des éléments c est symétrique; c'est-à-dire qu'on a

Ci.k == Ck,i = /-/,,, rt-/;., + (7,,2 (II:,. + . . . + Oij, Ok.p,

Cl par suite

en prenant successivement pour systèmes de valeurs de r, s, t,... toutes les combinaisous ti à n des nombres 1,2,..., />, et faisant la somme des résultats.

Tant que les éléments a sont réels, le déterminant

\^± c,^, C2,2< • -^Hyii t'st positif, et ne peut sannulcr qiu> >i

le déterminant

4o PREMIÈRE l'ARTIE, ^ \r.

est nul pour toutes les combinaisons /•, ,v, /, . . . (*). L particulier

^1 | ^2 | 2;i'^ ,,.;p^ ^ ;7, -t- -3i, J^-^j 4-jr-.' +:

•ïi-^+Ji jH-"i => -^^ H-j" ■+- A-, ■^i-^2-l-7.j2 + .

avait déjà été trouvé par Lagrange [Sur les Pyramides^ 3).

3. Le produit de deux déterminants V et Ç^de degré n est un déterminant R de même degré ^ que l'on peut écrire sous quatre formes, en général différentes entre elles (**), en composant chacun de leurs éléments soit avec une ligne horizontale de P et une ligne horizontale de Q, soit avec une ligne horizontale de P et une ligne verticale de Q, soit avec une ligne verticale de P et une ligue horizontale de Q , soit enfin avec une ligne verticale de P et une ligne verticale de Q. Si l'on pose, en effet,

Pi=

bn.n

on a, d'après le théorème \ ,