PQ

en supposant que l'on prenne

(*) Jacobi, Dct., i3.

(*"*) Cauciiy, loc. cit., p. 83.

THÉORIE DES DÉTERMINANTS

On a par conséquenl

bn.y • 'bn,n

D'après la règle de formation que nous venons de donner, on a encore

a^Aby,^ + . . . -f- «,.>„,,, . . . , û,^,6,.„ + . . . + «,,„è„,„

fin.\bi.> + • ■ • -+-«n,„^„.[, • • • , «»,ièl,H+- • -f-«„,»^«.«

. ^l./i- • •'^/(.(ï bni . . . b„.„

«1,161.1+ • • ■ + HnA^i.n, • ■ • , «1.1 ^«,1 H- • ■ •4-«„.i6«,H

«i,,,6i.iH- . . . + a„^„b,^„, . . . , a,,„b„, + . . . +«„.„i„,„

èi.i...è„,

l^r dctorminaiils ([ui ciilient comme fadeurs dans les

4'^ PREMIÈRE PAUTIï;, ^ VI.

premiers im-mbres de ces égalités, ue soiil aulie iliosc que P et Q (^ II, 3). Donc les déterminants qui forment les seconds membres ne dillêrent point de R, c'està-dire qu'on a

h„A- ■ -b, Ci^i désignant Tune quelconque des quatre sommes

«■,,1 ^A.i H- ",.; bi,,, -1- . . . -f- <7/,„ è/,,„ ,

rt,,, ^,,/, + a,.>'^:,)i + ■ • ■ -t-a,-,,, ^„j, (t^.tbk., -h «.,,-^/;,2-t-. . -H- i'n.ib/,,,,, <h., /h,!,- + fis.i hi.h -+-... + fi„j b„,i,.

•4. Le produit d'autant de délerniinaiits qu on voudra est un déterminant dont le degré ne surpasse pas le plus élevé des degrés donnés, et dont les éléments sont des fonctions rationnelles et entières des éléments donnés (*). En effet, si les degrés des déterminants donnés ne surpassent pas le w""'"", on pourra mettre tous les déterminants sous la forme de déterminants du n"'"" degré, et alors, d'après la règle (3), multiplier le piemier par le second, le produit par le troisième , et ainsi de suite.

D'après le § II, 6, on a

si chacun des éléments «,^;(, pour /^ m, est égal à zéro ou à l'unité, selon que h'^i^ les autres éléments non donnés

C) Jacoiîi, Del., \S.

THÉORIE DES DÉTERMINANTS

restant indéterminés. On a par suite

bu, s- ■ -b,,,,,

bn.f ■ -bn.n

en supposant

<■/,< = «/,! b/,^1 -4- a,-.v è/...; H- ... H- «,.„ i;^,„. De cette somme il ne reste, pour i'^m, que les termes

bk.i + û,,,+i 6a.,+, -t- . . . h- o,,„ ^;!,„. Si les éléments indéterminés sont tous nuls, on a

ce qui, pour i^ m, se réduit à ^^ , seulement.

Exemple :

a p -\- b fj , a pt -{- b Çi, c , ci

a.p-^btr/, a^p^ -i- b,(]^, c, , di

a,p-\-b-,q, a^p,-^biq,, c,, d,