PREMIÈRE PARTIE, § IV
s'appelle un [ii — i?i)"""^ détevininant partiel, par rapport au délerniinant de degré ?i,
Le coefficient de ce déterminant partiel dans R peut se trouver en reniar(|uant (jue l'on a
sR,
£ désignant 1 Unité positive ou négative, selon c[ue les permutations données appartiennent ou n'appartiennent pas à la même classe (§ II, 4). En décomposant e R en produits de déterminants de degré m et de degré n — m, on obtient, pour le cocflicient du déterminant partiel
(*) D'après la dénomination adoptée par 3 Acohi, Journal de Crcllc, t. XXVII, p, loQi, et t. XX.X, p. i36. Comparez avec les systèmes dérivés de Cauchy, loc. cit., p. 9G.
THÉORIE DES DÉTERMINANTS
dans sU, le déleiniiiiaiu ]>arlicl
Le coefficient cherché est donc, î ayant la même siynillcation que ci-dessus,
a ru ar„. .
expression qui coïncide avec le coefficient du produit
(if^, Og^i,. . . , dans R (§ ÏII, 7),
(/(If, d(i^,k- ■ ■ 4. Le développement du déterminant
suivant les puissances de z donne l'expression
(J,,i fi,A • ■ a/.,, (ii^.k- ■
étant un déterminant partiel du degré m, dont la diagonale est formée d'éléments appartenant à la diagonale de R» , et 2R,„ désignant la somme des déterminants qui se déduisent de R,„ en remplaçant les indices /, h.. ■ . , i>ar toutes
32 l'REMiÈRE PARTIE, ^ IV-
les combinaisons différentes des nombres i, 2,..., «, pris ni à ni {*). '
Démonslration. — On aperçoit immédiatement que le premier terme R„ coïncide avec / (o), et que le dernier terme est bien z'\ Les termes du développement qui contiennent z'" résultent des termes du déterminant /(z) dans lesquels il entre m éléments quelconques de la diagonale. En désignant maintenant par i, Â, ... une combinaison quelconque (rangée suivant l'ordre ascendant) de ni indices de la suite 1,2,..., n, et par r, 5,. . . les indices restants, on a (§ II, 4)
ar,i 'Tr.k «r,
«s,i a^.k (Js,.
j (z) étant mis sous celte forme, on reconnaît, par le théorème 1, que le développement du produit
ai,, 4- z "i.k-
elr.r + Z Ur, fl^ r (h.
forme une partie du développement cherché du déterminant f[z). Le développement du premier facteur suivant les puissances de z se termine par z"\ celui du second facteur commence par
(Ir.r Or, s ■
(") Jacori, Journal dr Crdlc, t. XI!, p. \.
THÉORIE DES DÉTERMINANTS. 33
Par conséquent
O-r.r ar,s' •
est la forme générale d'un des termes du développement cherché, qui contiennent z"" . En remplaçant les indices i', Â", . . . par toutes les combinaisons possibles m à m des nombres de la suite i, 2,. . ., n, et par suite r, 5, . . . par toutes les combinaisons possibles n — ma// — m des mêmes nombres, on obtiendra tous les termes de/(z) qui contiennent z'" Q\\ facteur.
§ V. — Des déterminants ordonnés suivant les produits des éléments de deux lignes qui se coupent.
1. Théorème. — En désignant par R le déterminant S ±«1^1 «22... «„,„, par R' le coefficient de 1 élément a,. , dans R, 8t par a,^j( le coefficient de Télément a,,j( dans R'. on a
On obtient les différents termes de la somme en faisant (*)
Démonstration. — Les termes du déterminant R contiennent ou bien l'élément a^^,^ ou bien le produit de deux éléments appartenant aux lignes qui se coupent suivant a^^, , par exemple, le produit «,.,« <^,,o ^ désignant un indice quelconque différent de 5, et zun indice différent de r. La
(*) Cauchy a donné un cas particulier de cette formule {Journal de l'École Polytechnique, XTIF cahier, p. 69).
34 PREMIÈRE PARriE, § V.
somme des termes de R ({ui conlieiinent «,.^, est par hypothèse a,. /H'. Le eoelUcient du produit a,.^i a,,, dans R est iFailleurs égal et de signe contraire au coel'licient de a,^, a,^i dans R {§ III, 7), et par conséquent égal et de signe contraire au coefficient de a,,< dans R'. Donc — a, ,; est le coefficient de «,.,/ «,,, dans R.
Corollaire. — D'après les notations précédentes, le coefficient de l'élément a,.^i dans R est
De même, le coefficient de «,,, dans R est — V ar,k y.i.i. , ( A- = I , 2 , . . . , .V — I , *
2. Si le système des élénieiils donnés est symétrique, de sorte qu'on ail ai^i = ai^^, et que R' soit le coefficient de l'élément «,.,, dans R, et a,^/, le coefficient de l'élément rt/.j dans IV, on trouve (i)
Les termes de la somme répondant à des valeurs inégales de i et de A, soni, dans ce cas, égaux deux à deux, puisque
Exemples :
bai hn O2
n,bl^-\- 2^01 /■'oî^n-
1 ba-,b,,ai b-,,
I b^ib^bnih-
-|-5it„,io2(rt'.i/ji2— ^■'.:>33) + ■2bo,bn{a,b,:,— 6,2^23) + Q.bf,-ibn (fl,/^, — br.bt:^).
= (rta,-f- hb, — ce, y — ^on.bb,
THÉORIE DES DÉTERMINANTS
Comme cas particuliers, on a
a o c = lahc.
a o Ci ht b c, o ai c b, «, o = — {s/an, + s/'bb, + \fcc,) (sjaa, + sfbb, — y'^)
X [sjaa, — sjbh, + sjcc, ] (— y/^, -f. sjJb, + \j77,} .
1 o c b I = rt^ -h è= + c^ — lah — -ybc — iac
\ c o n\ = l^a -i- b — cy — /^ah 1 b a o \
= — [\f^-+-^b-^\lc)(\lâ-hs/b — s/c) (v/â — s/Z^-h \,/c)
■x(-r \/â -\- sjl,-^ sjV\.
§ VI. — Des produits de déterminants.
1. Théorème. — Formons, avec deux systèmes donnés d'éléments , ,
et
un troisième système d'éléments,
de telle sorte que le k'""' élément c,,^ de la i'''""' li£[ne horizontale s'oblienno en mnlliplianl les éléments dt* l.i i"''"'
36 PREMIÈRE PAUTIE, ^ M.
rii;iu' lu^ri/.oiiialo du proinior système
<•/,,, tii
respoclivomenl ])ar les éléments do la /"""" ligne horizontale du second système
Cl faisaul la somme des produits, (c cjui donne Désignons ]>ar R le déterminant de ee svstènie
Formons, au moyen d'une combinaison de n lignes verticales qu(deonques du premier système, le déterminant P, et au moyen d<! P, par le cliaiigement de a en b , le déterminant Q, dont les éléments appartiennent au second système. En formant la somme de tous les produits PQ possibles, on a
Quand p ■=:. n , K se réduit au produit unique PQ. Quand p <^ /? , R est identicpiement nul (* ) .
Dcnionstnilioii. — En l'aisaul prendre à chacun des indices indéterminés /•, 5, /,... successivement les valeurs 1, 2, . . . ,/:>, alors, par hypothèse, le terme principal du déterminant sera
(*) BiNET et t'.AiciiY ( dans des Mémoires publiés en même temps, Journal de l'École Polytechnique, XVI*' caliier, p. 286, et XV! 1" caliier, p. 81 el iot), ont déduit cette proposilion do la considération dos cas particuliers
THÉOUIK UES nÉTEIl.MIWA^TS 3y
De là ou déliait les autres termes de 11, en peiinutaiil les seconds indices des éléments c, les piemiers indices demeurant immobiles. Or. dans cette opération . les premiers indices des éléments b sont seuls permutés sous le signe sommatoire, tous les autres indices n'éprouvant aucun changement. Par conséquent on a
Le déterminant Q s'annule lorsque deux des indices /', s , t , . . . sont égaux entre eux (§11, 4). On obtient donc tous les termes de la somme à former, en remplaçant /• 5 , r , . . . , par tous les systèmes de valeurs de n indices différents pris dans la suite i , 2, . . .p.
Si l'on a maintenant y[; <^ « , alors R = o. Car, parmi les indices t\, s , t , . . . , dont les valeurs doivent être prises dans la suite i, 2, . . . , /7, et qui sont au nombre de fi , il faut qu'il y en ait quelques-uns égaux entre eux ; par conséquent, pour toutes les déterminations possibles de /', 5, t, . . . , on aura identiquement
Si p = n, alors on ne peut piendre, pour système de valeurs des indices i\ s , t , . . . , que les diverses permutations de I, 2, . . . , «, parce (jue, pour tout autre système de \aleurs, Q serait identiquement nul. Or. pai la ]Krmuialiou des indices ;•, .<, t, . . . , Q se changera soit en Q, soit en — Q (§11, 4); par conséquent, la somme désignée par R
<[ira»aient donnes Lafjr.injo [ili-motifs de l'Acadéniir de Rcilin, 177'^, l>. 285) cl Gauss [Disquis- aiiihni., \'>-, i.'io, ^GS, \\ Voit J.vcor.i, Drt.. m
cl I '(
38 PREMIÈRE PARTIE, § Vf.
contient lousles termes du déterminant > ±a, jrt, «...«,, „, multipliés par le facteur Q; c'est-à-dire que l'on a
Si p^ 71, on peut prendre d'abord pour systèmes de valeurs des indices r, 5, f, . . . , toutes les combinaisons n à n
des nombres i, 9, ,. . ., ^. On trouve sinsi (' ) termes de
la somme cherchée, d'où Ton peut déduire tous les autres en remplaçant chaque combinaison r, 5, t,. . . par ses diverses permutations. D'après les remarques qu'on a faites
pour le cas des p=n, chacun d*"^ '^
es i ' 1 termes, joint a
ceux que l'on en déduit , forme le produit de deux déterminants PQ. On a donc
bi.r b,s t^x,f b'i,r bj^s b-2,.
bi.r b-,,s ^3.1-
OÙ l'on prendra pour les systèmes de valeurs r, 5 , f , . . • , toutes les combinaisons n à Ji des nombres de la suite I, a,. . ., p.
Exemple. — En posant
c,-,A = «1,1 ^/f.i + "i.i bk,-i + «,^3 bk,i,
on a
THÉOniE DES DÉTEUMIJNANTS.
et
Ci.l
fj.J
fl,3
Cj,j
