Théorème. — Soient

en supposant

de sorte que PQ = R(l)5 soient de plus a,,/,iS, <,y,^^ les coeflicients de r/, /, ,^,,o<^'i,/t respcclivemcnt dans P,Q,R:

44 l'RKMiÈRF, P\11TI1' , ^ VI.

on aiiia

fi,k= «1,1 Pam -+- «/.■-' P/-,jH-- • ■-+-«/.'' P*.'/>

cl si on particulier />,,< = «<,/ »

7,,; = a.]^^ H- aj^ + . . . + a:^; (*).

Démonstration. — Le coefficient de «,,,. dans PQ est, d'après ce ([uou a supposé, ot.i^,.(^. Comme on a de plus

= "y. («,,1 f^s.^ + "/,2 ^^.îH-- • • + «/w, /■',<,'i) 7'.< >

il s'ensuit (juc \ ^v,, 7<,. '^•''•' ''^ coefficient de a,,, dans R. Or on a PQ = R. ^ par coiiséqucul

«,,rQ = ^ /-»,,,• 7..^ >

La somme V Z>, , fi/,, , dont les termes répondent aux va-

/■ leurs /•= i ,2 , . . . ,// , s'annule loules les lois (juc i est diflérenl de /. , et a pour valeur Q lorsque 5 = /. (§ ^11, 1). II ne reste donc, de la somme totale, que le lerme '/,,/; Q,

{*) (vAlCllY, Inc. cit., p. 90. — C.OIH)!. JO.VlHIMSTIIAL, Joiliiuil dr Cicllf,

t. XI,, i>. f\C^. Ce thcorcmc est renferme dans le thcorcmc général ( 1 ).

de sorte qm

THÉORIE DES DÉTERMINANTS

Exemple. — Si l'on a

l ni II

«2 bi c.

VU \(Mlu dos équations

al -+- b nt -\- c f/ ,

si de plus ou désigne les coefficients de <? , Z», . . . , /, m, . . . , r, 5,... dans les divers déterminants par les lettres grecques correspondantes, on a, d après le théorème qu on vient de démontrer.

Tj = a^ Aj 4- Pj f^. H- •■^, vj ;

par conséquent

6 ni -\- c ti ^ (il

aj-^b. m -\r c,n , a, /, H- /;, ///, -f- c, //,

ni n

Dans le cas particulier où le second syslèmc est identique avec le premier, on a l'identité suivante^ qui est dnn fréquent usage (*) :

(«2 -h è' + c') [a]-^ b]+c]) — [aa, + bb, + ce, )- ■=[bc^ — b.c)- -\-{ca, — c,aY + [nb, ~ a^b)\

{*) I.AGRANGR, Sur les Pyramides.