PREMIÈRE PARTIE, § VII

§ Vil, — Des déterminants de systèmes adjoints.

1. En désignani; par a,^^ le coefficient de a,^^ dans le déterminant

Ci.i ■ ■ •««.«

le système des éléments

est dit adjoint [*) au système des éléments a.

Théorème. — Le déterminant du système d'éléments adjoint à un système donné de n^ éléments est égal à la [n — ij''"'"^ puissance du déterminant du système donné ('*'*).

Démonstration. — En multipliant

par R, on obtient (§M, 3)

Ci,i- • ■ '■■.,»

(") Caixiiï, loc. cit., p. 6/|, a emprunté cette dénomination à la théorie des formes quadratiques ( Disc/uis. ariihm., 2C7 ).

("*) Cauciiy, toc. cil., p. 82. Le cas de n := 3 se trouve chez Lagranjje (Sur les Pyr., 5) et chez Gauss, loc. cit.

THÉOniE DES nÉTEPvMIJNANTS. 47

en preuanl

fi,< = o^i.iak,, 4- a,-, . aii,. -h ... -h a,,„ r/^t^n.

Ces éléments (' ont la valeur R. ou la valeur o , suivant que i et k sont égaux ou inégaux (§ III, 1). l.eur déterminant se réduit donc à son terme principal

(§ II, 7). On a donc

Jf-i 1 . . . ît|,n

2. Théorème. — Un déterminant partiel de degré m du système adjoint est le produit de R™"^ par le coefficient qui multiplie dans R le déterminant partiel correspondant du système primitif (*).

Démonstration. — Soient

it, V.

des permutations données de i, 2,..., n. et supposons que /, g-, . . . , et /, A, . . . désignent des groupes de ni. indices, les « — m indices restants étant désignés par r, .<..... et par w, w, .

Le déterminant de degré m

(*) Jacobi, Det., II. La multiplication par R du dctermiiiaiii clir-irh employée dans cette démonstration, a été indiquée par Rorcliardt