SI «53 «V

parce cpie les permutations

n'appartiennent pas à la même classe.

On a, an contraire,

«li «Il «1;,

«32 «34 «3ft 1 ' «ftî «54 «55

parce que

sont des permntalii>ns de la même classe.

3. Le coefficient de rélémeiit a,,/, dans le déterminant des éléments adjoints

est

Car ce coefiicient est un déterminant partiel du système adjoint, du [n — 1)"""" degré, et le coefficient qui multiplie dans 11 le déterminant partiel correspondant du système primitif, est «,^/r, comme on le voit immédiatement. Si, en particulier, /f = 3, on a

= Ra,.,

«ri «23

=:R<7 I, etc.

(") Lagrange, Sur les Py., 3.

THÉORIK DES DÉTERMIK AMS. 5l

4. En général, pour calculer un déterminant partiel du second degré dans le système adjoint, par exemple.

on a besoin du coefficient qui multiplie, dans R, le déterminant correspondant

Ce coefficient n'est autre que celui qui multiplie, dans R, le produit rty,, rt^,^ (^ W , 3). Par conséquent, on a

On a de même

='/•' "^/■'^ ^^fi

^I,,i 'J-h.k '-^hJ

et ainsi de sui

te

do fi (io„i;

ddfi da„k di,j

Ces identités font connaître en même temps comment les quotients différentiels du second, du troisième...., ordre d\in déterminant peuvent s'exprimer au moyen des quotients différentiels partiels du premier ordre de ce déterminant.

o. Lorsque R est identiquement nul, il en est de même des déterminants partiels du système adjoint du a**, du 3",. . . degré, puisqu ils contiennent R en facteur (a). De Fidentité

(*) Jàcobi, Dei., 10.

Sa PREMIÈRE PARTIE, ^ VIII.

résultent les proportions

«/,<■ : a/,* = c/.gj : ag,!,, cif.i : a,,- == a/-.^ : y.gj, a/,i : ay.2 : a/-,., :...=:: a^.,, : a„,2 ! a^,3 I ■ • • -

«1,1 '. «5,, : a;.,/ : . . = c/.,j : a,, a : aj^i i • • • (*)•

Si, eu particulier, les éléments du système donné sont tels, que l'on ait a/^, = ± a,^^, alors, dans l'hypothèsede R identiquement nul, on a aussi

et par suite

Delà résulte la proportion

«i.i ; ai,2 ; y-i,? : . . . = va,,, : ^/a.,, : ya,,,

ce qui fait voir, d'une part, que les rapports

,1 . «-(M . t/-,yi

sont indépendants de /, et d'autre part que le signe de l'un de ces radicaux détermine les signes de tous les autres.

§ VIII, — Du déterminant d'un système dans lequel les éléments correspondants «,.^ et a^^i sont égaux et de signes contraires {*^).