Théorème. — Un déterminant de degré pair

dont les éléments sont tels, que l'on ait

(*) jACdBi, Journal de Crclle, t. X\, p. io4 et ailleurs.

(**) Kn pareil système et son déterminant ont été appelés par Cayley

THÉORIE DES DÉTERMINANTS. 53

est le carré d'une fonction rationnelle des éléments (*).

Démonstration. — En désignant par R' le coefficient de rt, i dans R, et par a, ^ le coefficient de a,^,^ dans R', on

f et k recevant les valeurs 2,3,..., n. En vertu des hypothèses faites sur les éléments, on a identiquement

R' = G ( § m, 9) , a, .<. = «/,, = sloii.i ^h,k ( § VII, 5 ) . Si l'on détermine maintenant les signes des radicaux de telle sorte que \fôï~i s/y-k,A ait pour valeur «,,< ( et non — a,,<): il vient

i,k ou, puisque la seconde somme ne diffère pas de la première,

et par suite

est une somme de /i — i termes. Or a,^, est un déterminant de degré « — 2, où la série des premiers indices est la même que celle des seconds, et se compose des nombres

(Journal de Crelie, t. XXXII, p. 119; t. XXXVIII, p. 93 ; t. L, p. Hjç^) i-auches (skew, gobbo ) .

") Cayley, Journal de Crelie, t. XXXVIII, p. 90. La dcinoiislralion doiinoe dans cet endroit ne lève pas toutes les difllciiltës.