PREMIÈRE PARTIE, § VIII

•2,'5,..>,n, à l'exclusion de /'. D'après la règle trouvée pour la décomposition de y'R, y/a,^, peut se décomposer en n — 3 termes, dont chacun est le produit d'un élément par la racine d'un semblable déterminant de degré ii — 4? et ainsi de suite. Or la racine carrée d'un semblable déterminant du second degré est rationnelle, car la racine de

est ici ^„^„ ou a^,„. D'après cela, v'R se présente sous la forme d'une somme, que l'on prendra positivement ou négativement, et composée de

fermes ; chacun de ces termes est un produit de — éléments,

dont les indices sont tous différents entre eux, de sorte que l'ensemble des premiers et des seconds indices forme une permutation des nombres i , 2 , . . . ,//.

Pour premier terme de cette somme, on trouve

puisque, d'après la règle précédente, on obtient successivement, en effectuant le développement,

B = (li,, C -f- . . . , etc.

Vx cil cil'cl,

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THÉOUIE DES DÉTERMIN AKTS . 33

est un terme positif du déterminant R, parce que les permutations

appartiennent ou n'appartieniiunt pas à la même classe, selon que - est pair ou impair.

'- 2. Théorï:me. — L'expression

dont le carré est égal au déterminant R considéré ci-dessus, prend la valeur opposée quand on échange entre eux deux indices, et s'annule identiquement quand deux indices sont égaux entre eux (*).

Démonstration. — En désignant par Sj ce que devient S lorsqu'on y échange entre eux les indices i et A, S\ sera ce que devient le déterminant R par l'échange des mêmes indices. Or / et A entrent dans R tant comme premiers in-^ dices que comme seconds indices, et partant R n'est pas altéré par cet échange (^ II, 4 ) ; on a donc S, = S'. Par suite de cette identité, les termes de Sj sont égaux respectivement aux termes de S, et sont tous de mêmes signes ou tous de signes contraires, suivant qu'un terme de Sj et son égal dans S sont de même signe ou de signe contraire. Or, en désignant par «,^< B la somme des termes de S où entre l'élément «,,<, B ne contiendra que des éléments avant leurs deux indices ditiérents de / et de A (1); par conséquent, par l'échange de i et de A, a^^i B se change en «^ , B.

(*) L'expression S a été introduite parJacobi(/ou/-«a/ de fz-eZ/t', t. Il, j). lî j.) ; XX.IX, p. 236), qui s'en est servi en traitant de la méthode d'intégration de Pfafl', et Cayley {loc. cit.)\'si désignée récemment sous le nom de Pfifjian. Ses propriétés ont été énoncées par Jacobi sans démonslrution, et sans la rclalion fondamentale S* ^ R.

56 ' PREMIÈRE PARTIE, § Mil.

Les termes «,,iB, de S, et «a,<B, de Si, sont égaux et de signe contraire, puisque «/^, = — a,^/ ; par suite S et Si sont aussi égaux et de signe contraire.

Si les indices iel k sont égaux, S, est égal identiquement non-seulement à — S, mais aussi à S; donc S est identiquement nul.

3, L'expression dont le carré est un déterminant de l'espèce que nous considérons ici, peut sans ambiguïté être désignée, ainsi que le fait Jacobi, par la série des indices des éléments de son premier terme, laquelle est identique avec les séries des premiers et des seconds indices des éléments du déterminant. Le symbole

désigne, d'après cela, la somme commençant par le terme principal a^^^ «3,4- • • (J'n-i,n') et dont le carré forme le déterminant

toujours dans l'hypothèse où l'on a rt^,^, = — a,^^ , û;,^. = o, et n pair. Il résulte du théorème précédent que l'on a

etc. On peut donc prendre pour y/R , en général, soit

soit encore

ou toute autre permutation de ces indices, puisque ces différents symboles ne peuvent être qu'égaux au signe

près.

De même, V^ô^ pt-'ut être représenté ( 1 ) par une permu-

THÉORIE DES DÉTEIIMIJN'AJVÏS. Sj

talion quelconque des indices 2,3, . . . , n, à l'exclusion de /, tant que l'on considère cette expression isolément. Cependant, comme on doit avoir, en ayant égard aux signes, •

et par conséquent.

il faut donner aux termes de cette somme des signes déterminés, de manière que le signe de la somme reste seul indéterminé.

4. Théorème. — Pour le développement successif de l'expression {i, 2,..., n), on peut se servir de l'identité

H-<7,,,-(/ + I ,... //, 2,..., / — I) H- .. . + rt,,„(2, 3,..., n — i),

la suite des indices entre parenthèses se déduisant de 2, 3, . . . , /î par des permutations circulaires, en excluant chaque fois l'indice qui se trouverait le dernier (*).

Démonstration. — En posant (3)

v'a,-.< = ( — • )' ( 2 , 3 , . . , / — I , ?" H- I , . . , «) , et de même

\J:>.h,k — [ — lY['i, 3,. ., X— I, /i+i, ••, «), le produit (iy+A(2, 3,...,/ — I, / + !,..., n) yl, 3,..., fi — i, /-f-i, ...,")

(*) Jacobi et Caylky {loc. cit. ^oni emjilciyé ceUe identité comme définition de (1 , i, . . . n).