PREMIÈRE PARTIE, ^ VIII
se composera des mêmes termes que a,^^ ou que — a,^< , puisque a,^, Ui^^^ est identique avec a/,^. D'après la notation de Vandermonde, on a (§ III, 5)
2 , O , . . . , fi ' » n ~\~ I 5
la suite des premiers indices ne contenant ni i , ni i, et celle des seconds indices ne contenant ni i ni A. En désignant par
p, fj, r, s,. . . ,u, t'
les n — 3 autres indices qui font partie à la fois des deux suites, on sait (§11, 4) que le rapport
est égal à une puissance déterminée de — i. Ce rapport est le même que celui du produit
au produit
Donc le déterminant
et le produit
{^■,P-)fhf->' ■ • >«j")(/^'7» f^^^ ■ ■ ■ >*S 0 ont la même valeur absolue. Le premier terme
"h,p ^p,q f'q.r «r,j • • • "«.^ «ci
du déterminant, et le premier terme
du produit soiU de même signe ; donc le dcteiminant ci \v
THÉORIE DES DÉTERMINANTS. 5g
produit sont aussi de même signe. Il s'ensuit de là que y°^i,iy<^i,k coïncidera avec a,^^ en grandeur et en signe, si l'on pose
Va,-,, = (— l) '■ ( 2 , 3 , ... , / — I , i" -f- I , . . . , «) J ou, après i — 2 permutations circulaires (3) ,
sJ<Xi,i = (/ -h I ,...,//, 2, ...,?■— I ).
Par cette substitution, on obtient ( { )
y «,,,s/a'-,'- = «'.2(3, . . ., «)-|-rt,,3(4, . ■ ., «,2) + . . .
i + fli.„(2,. . .// — 1 1,
pour une valeur de y^R que nous devrons désigner par
comme on s'en assure par l'identité des termes initiaux de «1,2 (3, . . . ,/î) et de (i , 2, ...,»).
Exemples :
fl„(3,4,5,6)-i-^/,3(4i5,6,2)-+-..
rt,,{2, 3,4, 5)
ft\-: (^ H ^'h« -T- "n "35 ^ei + ^12 "3c "45
\ + '/,3 «<s «^.. + a,,, «ic «25 + rt,:; «42 «^SB
== ' + «li «SI! '''■.>:. + ^'1. '''i' ^'.u -i- «'u «i. "« -i- <'/i;, "t;; f :.i -+" "i.^ '''b.i «n "+- "is "m ^^i:' + (7,,; «M r/js + fl„. fin Oy., 4- «16 f>n «M
et
PREMIÈI'.E PARTIE, § VllI.
= [ad— be-\- cff.
[ad+ be + c/y.
5. Le coefficient de a,^i, dans le déterminant R que nous considérons ici, est (§ III, 9)
r dK __ ,— dsfk
2 dai^k daiis
Le coelficient de a,^, dans R, lequel est exprimé générale-
ment par - — ? s'évanouit dans ce cas (§ III, 9). Or, si l'on
ordonne R par rapport aux éléments d'une ligne horizontale, on a (§ III, I), en divisant par le facteur commun v^R,
V R — rt,-,
d^K dsJK
doi:,,
d\/R dai,,n
formules où l'on devra supposer En posant (3)
ds/ R
da,i
~a,,, (2, . . . ,//) +rt,-,, (3, ...,«,!) + ...,
) Jacoci, loc. cil.
THÉOUIE DES DÉTERMllV A.NTS. Gl
on trouve
i et /fêtant exclus du cycle des indices.
' 6. Théorème. — En désiguant parD la valeurqueprend le déterminant R des éléments quelconques a,,j , • , . , fl„ „ , lorsque les éléments
s'annulent, et, de plus,
Par D, la valeur que prend D, lorsqu'on supprime la ligne horizontale et la ligne verticale qui contiennent l'élément a,^^, 5
Par D,^t la valeur que prend D, lorsqu on supprime les lignes qui contiennent les éléments «,^, et ^/.,i^ et ainsi de suite 5
On a alors
R = D + ^ a,,, D, -i-^ fl,,,rtA,/! D,,/; -}- ^ «,,, «^.i nu D,.i./ J- . . .
-ha,,, fl .2 . . . û„.„,
en remplaçant successivement / par toutes les valeurs I, 2, . . . , ^z 5 puis /, A par toutes les combinaisons binaires de ces valeurs 5 /, A, l par toutes leurs combinaisons ternaires, et ainsi de suite (*).
Démonstration . — Les termes de R qui ne contiennent aucun des éléments «1,1, «2,2'' •••5 coïncident avec les termes de D. Les termes de R, qui contiennent un seul de ces éléments, coïncident avec les termes de la somme
rt,,, D, -h <7j,, Dj -4- . . . + <7„.„ D„ . (*) Cayley, Journal de Celle, t. XXXVIII, p. 9!^.
62 l'UEMlÈr.E PAIÎTIE. ^ VIU.
Car du coefficient de rt,^, dans R on formera D, (§ III, 5) , en annulant les éléments «1,1, «2,25 • • •? ^n,n- I^e même, les termes de R qui contiennent deux des éléments en question, coïncident avec les termes de la somme
«1,1 '7.,-, U|,2 -h rt,,, «3,3 D|, 3 +. . . -+- rt'->,2fl,,.3D,,3-l-. . .
et ainsi de suite. De cette manière aucun"; des termes de R ne se trouve omis ni répété deux fois.
