SECONDE PARTIE

^ IX. — Résolution d'un système d'équations linéaires.

1 . Théorème. — Les n inconnues Xi , x? , . . . , t„ étant données par les n équations

fl,,, X, + C/,,; Xn-\-. . . + «,,,; J-,, = H|,

si Ton pose

et que l'on désigne par ol^^^ le coefficient de a;^i dans R, on aura

V^Xk = II, a, ,4 + u. a,,/, + ...-+- ;/,, a„.i ( *) .

Celte expression se déduit de R par la substitution de «1,^/2 5 • • • 5 u„ au lieu de «j^;. , «^j^ , • • • , «„,,( • Le déterminant des coefficients des inconnues s'appelle le détermi" nanl du système d'équations linéaires (**).

Démonstration . — En multipliant les équations don-

(*) CeUe résolution a été indiquée pour la première fois par Leibniz., puis découverte de nouveau par Cramer {^<oir § I et II). (**} Jacobi, Dct., 7.

APPLICATIO>S DKS DÉTEli MIN A7NTS. 65

nées respecliveinent par

et ajoutant les équations obtenues, on obtient pour le coefficient de x^,

et, pour le coefficient de x, ,

«,,,- a,,/. -n «,,;«,,<.+.. .+a„^iOLn,k=o (§nr, 1).

2. Si le déterminant du système linéaire s'annule, les inconnues prendront en général dés valeurs infinies, c'està-dire que leséquationsdonnées serontincompatibles,et,par suite, qu'elles ne sont pas indépendantes les unes des autres. La contradiction entre les équations données sera levée, si l'on introduit la condition

«I y-x,k 4- u-, 'M,u +..,+ «„ a,,.^. = o , qui est vérifiée pour toutes les valeurs de A, puisque les rapports ai,^ : a,^^ : . . . sont indépendants de A (§ Mr,5). Alors le système des équations données est indéterminé, et chacune de ces équations peut se déduire des autres.

3. Si les quantités «, , z/, , . . . , w„ s'annulent, les inconnues s'annuleront aussi en général, c'est-cà-dire que les équations données seront incompatibles, et, par suite qu'elles ne seront pas indépendantes les unes des autres. La contradiction entre les équations données sera levée dans ce cas par la condition que le déterminant R du système linéaire s'annule. L'équation

s'appelle la résultante des équations linéaires //, = o, 1/, = o, . . .,zy„ = o (*).

(■*) D'après Bezoïit, Histoire dr l'Acach-mie de Paris, f-jG:], p. ^SS .

g(J SECOWDE PARTIE, § IX.

Si la condition R = o est remplie, le système est indéterminé, et les équations données sont satisfaites par la proportion

^x : -f-i : X;: : . . . = «,•,. *. «i..' * ««.^ • • • • ( ) ' / désignant un indice quelconque (S VU, 5). Car, en vertu de l'équation

fl*,. «-,. H- «/.-^ ^'•'.^ -^-- • • + "'••" ''-"" = °' qui a lieu, non-seulement pour des valeurs difïérentes^e / et de A (§ III, 1 ) , mais encore, par hypothèse, pour z = /c , on a,pourchaquevaleurde/r prise dans la suite 1,2,. . .,«,

Oh A -ï'i

■ Okr- ^1-

Exemple. — Les équations

n x-^h y -^ c z-=o^ 01 «, 0,--!- h, y + c, z = o, rtj.r-t- t-^r + r, z = o,

■flA.„ j:„:

sont compatibles, si Ton

rt, b, c, (1, b-, c.

A cette condition, on a

a, bi

Cj a.

ri.b.

c, ei,

(*) Jacobi, l)ei. , 7.

APPLICATIONS DES DKTEUMI iN A.MS. 67

4. Si les coefficients du système considéré dans lart. i sont tels, que Ton ait

et si 71 est pair, alors, d'après les propositions et les notations du § VIII, on a la solution plus simple

(- ij* (1,2, ...,«) ^;.

En effet, en multipliant les équations données respectivement par

(l, ... A~ I, /-j-I, ...^ ,; ij^

et ajoutant les résultats, Xt se trouve avoir pour coefficient

«,,i(2,...,«)+«,,^(3,...,«, 1)+. . . -h fl„.^.(l,. ..,,/— ,);

et la valeur de cette expression, en remplaçant a,^, par «M ? «i,< par — a^ 2 , etc., peut être représentée par

(§ Mil, 4). En remplaçant encore Findire k successivement par I, 2, ... , — I, on obtient, pour le coefficient cherché (§ VIII. 2) ,

Au contraire x. a poui- coefficient, dans la somme en question,

expression identiquement nulle (§ VIII, 2).

>;") Jacoei, Journal dt Ciel le, t II, p. 356.

gg SECONDE PARTIE, § IX.

5. Si les coefficienls du système linéaire sont tels, que l'on ait

et que /i soMimpair, on a alors R = o (§ HI, 9), et les équations données ne sont compatibles que si Ton a (2)

A cause de l'identité a„, = V^^^^ (§ ^ "' ^^ ' '^''^ "''"" dition se réduit à la suivante ,

OU, en substituant la valeur

«,(2,...,«)+».(3, ..,«,.)+.. ■+«4i.--' '"-') = «(*)• Exemple. — Des trois équations

— vx -A- -\~ i'Z = Si h.T — av * = /' 5

une quelconque est la conséquence des deux autres, si

l'on a

af+ h g + r/i = o :

sinon, chacune est contradictoire avec les deux autres.

Remarque. — Si les coefficienls du système linéaire (1) sont tels, que l'on ait «„. = a 7' , on obtient encore dans ce cas une solution particulière ['i;o/;' ci-après, § XII, 5, 6].

(«) Jacobi, loc. cit.

APPLICATIONS DES DETERM:l^ASTS.

§ X. — Théorèmes sur les équations différentiel/es linéaires.

1. Les coefficients d'une équation différentielle linéaire de l'ordre /i, qui ne contient pas de terme indépendant de la fonction, peuvent, comme Libri l'a remarqué (*), se composer au moyen de n intégrales particulières de l'équation, de la même manière que les coefficients d'une équation algébrique se composent avec ses racines. En effet, si l'on désigne par jj, j,, . . . , y„ des intégrales particulières de 1 équation différentielle linéaire

j'<'^ étant le quotient différentiel d'ordre i de la fonction j-, et les quantités Aq, ai,..., a„ étant indépendantes de /, y' , . . . -^ formons avec les 1'^'^% 2^%..., n'^'"" quotients différentiels àey^, y^, . . . , le déterminant

Jn Jn, I • • • J* "j n — '

ji^^i désignant le /i"'""' quotient différentiel de y\. Si Ton désigne maintenant le coefficient de y,^i dans R„ par

yj, i ■= -—^ (Ç III, 7), on aura

— R« — =7.,«>!i.<+J-',« '!:,,■+•• ■ --t-J',,.,. »;„,,■(* ). Démonstration. — On a, par hypothèse, pour déter-

(*) Journal de Crelle, t. X, p. 189. Les coefficients ont été détermines par Libri d'une manière moins simple. Libri a bien indiqué la méthode diiocte pour leur dolermination, mais il no l'a point développée.

("") Rkioscui, Det., p. 81 (p. 9*^ de In trad. franc.).

yO SECOJNIJE PAl'.TIK, ^ X.

miner les coefficients a^, ni, ... , a„, le syslèine d'écjualions linéaires

o„ y, -f- fl, j,, -1- ... 4- fl„, j,,„, ^— «„/,,„,

«ojrn+ «I Jn,l-|-- • --H «7,-1 Jn,n-i = OnXv.n,

par la résolution duquel (§1X, 1) on trouve pour a, la valeur que nous avons donnée. La détermination des coefficients ne réussit pas, lorsque les intégrales particulières données dépendent les unes des autres, de telle façon que ronaitR„ = o(§IX, 2).

2. Le déterminant Pi„ peut s'exprimer au moyeu des coefficients de;^^"~*^ et de y''"K On a, d'après les suppositions admises.

R = Ji,»>îl,H-l -+-... + Jn,n»I„,«-i.

Le second membre de cette équation a pour valeur —r-^ (§111, 10)-, on a par conséquent

d !og R„

lOg R„ = I ClX y