L'intégration de l'équation linéaire de Tordre

(i) « = rto JH- «!/' + •• - + «"7^"'»

rt, rtu, rt, , . . , étant indépendants dey, r', • • • > se réduit à l'intégration d'une équation linéaire de l'ordre n — ///, lorsque l'on connait m intégrales particulières de l'équa-

f *) Abel {Journal de Crelle, «.II, p. 22) a établi cette relation pour m =2. La formule gcncrale :i été attribuée a Liouville par Tissot (Journal de linm'illr, t. XVn, p. 17F;).

APPLICATIO^S DES DÉTERMINANTS. 71

tion différentielle linéaire plus simple de l'ordre n,

(2) o z=a,y -\- a,y' -^ . . .-\- a^yCK

Lagrange [Miscell. Taiir.^ t. III, p. 179) a énoncé ce théorème en 1764, et a montré la possibilité de la réduction. Cette réduction a été traitée par d'Alembert [loc. cit., p. 38 1) dans une note très-courte, et la méthode exposée dans cette note est identique au fond avec celle du Mémoire de Librisur lemèmesujet (/ozf/vzrt/ Je Crelle, t.X, p.i85). Après que Malmstén [Journal de Crelle, t. XXXIX, p. 91) eut fait voir, à l'aide des déterminants, comment l'intégrale générale de l'équation (2) peut se déduire de aî — i intégrales particulières de cette équation, Joachimsthal a traité aussi [Journal de Cr elle., t. XL, p. 48) la réduction de l'équation différentielle linéaire plus générale (1) d'une manière analogue, au moven de m intégrales particulières données de l'équation (2). La méthode employée pour cet objet avait déjà été en grande partie indiquée par Lagrange, qui, dans un Mémoire postérieur [Mémoires de Berlin.^ iyj5, p. 190), a représenté l'intégrale générale de 1 équation (i) au moyen de n intégrales particulières de l'équation (2).

En désignant par r une fonction de x, et par J'i > ^2» • • • j Jm les intégrales particulières données de l'équation (2), on peut déterminer un pareil nombre de fonctions de x, que nous désignerons par b^,h^, . . . , b„,, par la résolution d'une équation différentielle linéaire générale Jordre n. — m, et par m quadratures, de telle sorte

que

r = b,}\ -+- b^X: +- . . . H- bmj„,

soit l'intégrale générale de léquation (i). En effet, en posant

r/* > , rih.

J2 SECONDE PAiniE, ^ X,

on a

y" = ^:.> !,:• H- ... -H èmjm/.,

en posant

Mais, d'après les conditions que l'on a posées, les rapports

sont déjà déterminés (^ IX, 3) \ on a de plus

jC»)^ h,r,„, + . . .H- ^mr„,,m + z, en posant

qui est une fonction déterminée de x. Ou a de même en posant

puis

en posant

etc. •, et eniiu

en posant

APPLICATIONS DES DÉi liRMlAAMS. '^^

En multipliant ces équations respectivement par «o» «1 , . . . , et, ajoutant les produits, on trouve, en vertu dos suppositions faites sur y, , jo , • - • , j',,,»

pour la condition en vertu de laquelle

^1 Ji H- b.,y\^. . . H- b„y,„

;<era une intégrale de l'équation (i).

Or, en résolvant le système d'équations

b, ,1-,., -h. . .-h b,„,,XmA =

t>m.\ Xnx.m — 1 ^1

on trouve

en posant

po

Rm

et désignant par

''îi,ni— I

le coet'ticient de X,,,„i dans R,„. Les fonctions Z>, , Z>2 , . . . , Z»,„ seront ainsi déterminées par des quadratures, après que l'on aura trouvé z. Pour débarrasser maintenant des quantités ?7i, />2,... l'équation {[ui détenuine z, rcmanpions ([ue

j4 SFXOWDE TAP.TJK, ^ X,

l'on a

= (»îi,m-l Jl.m -h . . . + /)„,,m i J„,,m) ^— ^= ''i "■ .

b,,i Ji,«-i H- . . -t- 6„

.1 Xm,n—t

Cj , Ca,..., c„,„ étant, par suite, des fonctions données de X. On en tire par différentiation, en se servant d'une notation analogue ,

=.-.2 = Ci,-,z H- 2r/,, :;' 4- Ciz",

etc

On a par conséquent

( cv,r, 4-c, c' -I- :

{ -hc, z )

\PPLICAT10JNS DES UÉXERMlJSAiNTS. ^D

pour l'équation linéaire d'ordre ii — m à laquelle doit satisfaire la fonction z. Ayant trouvé la valeur de 3, on peut calculer ensuite, par son moyen , les fonctions ftj , i, , . . . , h,,,, de telle sorte que

^1 Ji H- b.,y,-i-. . .H- b,„y,„

soit une intégrale de l'équation (i). Les intégrales particulières j^i, j^2î- • «5 y m étant supposées liabituellement ne contenir aucune constante indéterminée, comme d'ailleurs l'intégrale générale z de l'équation linéaire d'ordre n — m que l'on vient de trouver, renferme n — m constantes arbitraires, et que les quadratures, dans le calcul de Oj, b^ ,...,^,„, introduisent m autres constantes arbitraires : l'intégrale trouvée pour l'équation (i) contiendra le nombre voulu de constantes arbitraires, et ce sera par conséquent l'intégrale générale de l'équation (i).

4. L'équation différentielle linéaire qu'il reste à résoudre pour l'intégration de l'équation différentielle donnée, n'est pas résoluble en général , lorsqu'elle dépasse le premier ordre. Il y a donc à considérer en particulier les cas où l'on a. m = n et m = n — i .

Pour m = n . on a.

« ff 'Cl „i

a =a„z, bi, , R„ = — 7),,„, , 6, =: / -— r/.r ,

et par suite l'intégrale générale de l'équation (i) est

comme Lagrange et Joachimsthal l'ont remarqué (/. c). Pour ni == n — i , on a

y5 SKCOJNDK PAUTIE, § X.

Orona(§llI, 10)

par conséquent

a R„, = fl„, R„,s + fi„

Pour la résolution de celte équation , on a besoin d'une intégrale particulière u^ de l'équation

O = (7„, Il + «„«',

savoir.

, ' Un

En représentant l'intégrale générale qu'il faut d'abord chercher, par

ce qui donne, d'après la notation admise ,

(R„,r.)' = «,.,(', 4- «.t'i.i, on a , à cause de rt„| n^ -|- <^/„ //j , =r o (par hypothèse),

rrtR„, ,

avec une constante arbitraire. On a enfin, pour déterminer bi ,

APPLICATIONS DES DKTEKMIIS \ISTS. ^y

chacune de ces quantités amenant avec elle une constante arbitraire , de sorte que

est l'intégrale générale de l'équation (i), comme l'a remarqué Joachimsthal (/. c). Le cas particulier de a =: o, pour lequel p-i lui-même se change en une constante arbitraire, avait été déjà semblablement traité par Malmslén (/. c).

§ XI. — Résultante de deux équations algébriques. \. Soient

f'\x) =i 0,,-\~ OyX -h . .~\- o„,x"', f^ [x] = b^ -j- b,x -i- . . .-+- b„ .r".

Les deux équations

données pour la détermination de x, seront compatibles si une racine au moins de la première équation coïncide avec une racine de la seconde. Eu désignant les racines de la première équation par «i , aj , . . . , a,„ , et les racines de la seconde équation par jSj, jSa, . . . , [3„; en désignant, de plus,

par TT (a, — ,6^) le produit de toutes les différences entre

les racines de la première équation et les racines de la seconde, lesquelles différences se forment de ar, — jS^ , en faisant successivement i = i, 2, . . . , m, et A= i, 2, . . . , «, alors

sera la condition nécessaire et suffisante pour la compati-

^8 SKCOINDK PARTIE, § XI.

bilité des équations données (*), et s'appellera la résultante de ces équations (§ IX, 3).

2. Si les racines «i, «s? • • • ? °'-m-, ainsi que j3i, jS, , . . . , (3„,

sont toutes différentes entre elles, le produit TT (a, — j3x)

i,k sera une fonction rationnelle et entière, du degré /n, des quantités

et aussi une fonction rationnelle et entière, du degré n , des quantités

et par suite aussi une fonction rationnelle, entière et symétrique des racines de cp (x) = o, ainsi que des racines de /[x) = o, et l'on sait que cette fonction peut se transformer en une fonction rationnelle et entière des coefficients àef[x) et de cp (.r) {**). Car, de l'identité

^(x)=rz/;„(,r-p,)(x-p.,)...(.r-p„)

on lire

et par suite

(*) EULF.R, Histoire de l'Actidcmit dâ Berlin, ly/JS, p. 334. (** ) Eller, loc. cil.

APPLICATIONS DES DÉTEUMIIS ANTS. Ji)

On a de même

/[.v) = {— i-ro„.{y.,~x) {'x,— x]. . .(a,„— Jt), («,-p,)(a..,-p,). .(.„p,):=.tllZ>(p,),

]][(a,-p,)=^A/(PO/(N---/(^),

d'où résultent immédiatement les propositions énoncées cidessus.