Au lieu de développer le produit TT (a, — (3^) en une

suite de fonctions rationnelles, entières et symétriques des racines de l'une des équations données, et d'exprimer ces fonctions au moyen des coefficients de cette même équation, on peut parvenir plus simplement à la résultante des équations données, en éliminant l'inconnue x entre ces équations.

L'équation R = o , obtenue par l'élimination de x entre f[x) = o et 9 [x) = o, est la résultante de ces équations [œquatio finalis genuina) , lorsque R est une fonction rationnelle et entière, du degré m, des quantités indépendantes entre elles

et une fonction rationnelle et entière, du degré «, des quantités indépendantes entre elles

a„, (l„, Om

) Eller, loc. cit. — Voir Calchy, Exercices d'Anahsc, 18:^0, p 4^0

8o skc.Ojnde partie, ^ XI.

Car, pour chaque système de valeurs des coefficients ^o ^

a,l, . . . , b^, hi,. . . ^ faisant évanouir TT (a, — j3;;),y (a:) = o

et cp (x) = o ont une racine commune a^ , dont l'élimination entre les équations f{c(,) = o et 9 (a,) = o a

fourni Téqualion R = 05 c'est-à-dire que, si TT («, — ^i)

i,k s'annule, R s'annule également. Or ces quantités sont, d'après (2) et les hypothèses précédentes, des fonctions rationnelles et entières , du même degré, de -^, y-!-, • • • , ainsi

que —5 — , • • . Elles ne peuvent donc diflérer que par un

facteur indépendant des quotients en question.

Si au contraire, dans l'équation R = o qui résulte de l'élimination des x eniref[x) = o et (p (o:) = o , R est une fonction des quantités en question d'un degré différent de celui que nous avons indiqué, cette fonction contiendra alors un facteur étranger, dont l'annulation n'entraîne pas l'existence d'une racine commune aux équations données, ou bien cette fonction s'annulera identiquement.

A. Pour obtenir, par l'élimination de x entre les équations f{x) = o et cp (x) = o, la résultante de ces équations, Euler (*) et Bezout [**) ont trouvé en même temps une méthode applicable à tous les cas, et qui a été récemment reprise par Sylvestcr (^***^ et par Hesse l****). On

(* ) Histoire de VAcadéinir de Berlin, \~fi\, p. qG . (**) Histoire de l'Académie de Pnris, 176/). p- 298.

(***) Philosophical Magazine^ \'è!\0, n" lûi. — Voir Richf.lot, Journal deCrelie, t. XXI, p. 220.

(****) Journal de Crelle, l. XXVII, p. 1.

APPLICATIO>S DES DÉTERMIA AATS. 8l

forme pour cela les identités

f{x) = <7o-+- fli^ + a,j?'H- ,

.r/(.r)= af,x-^a,x--\- ,

x''-'f{x)= a^x^-'-i-. . .-^a„,x^-^"-\ (jp(.r =:b^ + b,x-\- b.x''-\- ,

iTç [x) = bi,X -i- b^X- -[- ,

x^o[x)=z èo J.^ + ,

xr-'o{x)=z è„^— '+. . .+ i„.r'"+«-'.

En désignant par R le déterminant de degré m + zz, dont les éléments sont, pour les n premières lignes horizontales,

«0 «1 di. . .a^ o G

el pour les ui lignes horizontales suivantes,

^0 ^1 bi. . .b„ o o ..... .

o o br, b,

en désignant de plus par 7,i,<i le coefficient du K"""^ élément de la P""" ligne horizontale de R , on a (§ IX , J ),

Si Ton pose maintenant/^ (x) = o et ©(x) = o, R = o sera

82 SKCONDK l'AillIK, ^M. .'

la iv.sukantc du s\.slèmc précédetil d'équations (§ IX, 3).

Or le clétcrmiuaul R, divisé par a"^ h"^ (§111,2), est une {

foncîioii ralionnclle et entière du degré n par rapport

, r/„ rtf, ,11' b, b,

a — 5 — •)•"■> et du cleerre m par rapport a — j -r-v? et a„, a,n o r 1 t b„ b^

les facteurs «,„ , h,, sont supposés, dans la formation deR,

ae pas s'annuler-, par consé(|uent (3) ré(|uation R = o est

la résultante des équations f[x) = o et cp (x) = o.

T). De la manière que l'on vient d'indiquer, on n'obtient pas la résultante des équations données sous la forme la plus simple, parce qu'une grande partie des éléments du déterminant de degré m -\- n s'évanouissent. Le procédé d'éliminalion conduisant à la simplification désirée, et employé par Hezout dans le Mémoire cité (p. 3 17), a été, dans ces derniers temps, repris et éclalrci par Jacobi (*) et par C.aucliy (**). Des équations données, que l'on suppose d'abord être loiilcs les deux des équations de degré n^ on peut déduire n équations du degré // — i, d'où l'on conclut eiisuilc, par la fuimalion d'un dc'icrminant de degré //, la résultante des équations données. A cause de

V {:i) ^ <-/,, -4- <'',.r +• ■ • ~\' OrX' -\- {n, i-, + Ur^-i-r. -\- . . . -|- a„.r""''-').r''+', ,^ \x) — A„ -h b,.r + . . . ^H /;,./•' •+- (/^.,, H- A,f,.r -h. . . + /;„x«-'--' ) 0;'-+',

la (juantilé

{b,,,-Vb,.,.v-\ .. .-^b„.r" '■ ')F(.r) — C^/,,, , -f-r/,4,x + .. . + fl„a:«-''--')(p(.r)

sera une lonction de x du degré n — i, que nous désigne-

(*) Journal (If Cirllc, t. \V, p. H)i (*") t'.xf cices d'Aiiahw, i8/|0, |>. Ht)!!.

APPLICATIONS DKS DÉTERMINANTS.

rons par u,. Du système des identités

«^n-i.O H- Ch-i,1'Ï^ h- . . . + C„,,„,.r"-' =: «„

on tire (§ IX, 1) eu supposant

et en désignant par y,^^ le coefficient de c,^^ dans R, Si l'on a maintenant

F(.r)=ro, <a{x)z=o,

il en résulte

et par suite R = o sera la résultante de ces dernières équations. Or les éléments c,^< sont des fonctions linéaires tant de «0 , <«i , . . . , que de h^, by,, . . , d'où il suit que le déterminant R est une fonction du degré n des mêmes quantités: donc R = o est la résultante des équations données

6. L'élément c,., du déterminant R est le coefficient de x' dans u^. Or on a

"'=(2"-'') [l'-^-'j-il^'-') (D"'-'-

= V [a, h/, — (ikhi) .r'-^^— S

g^ SECONDE PAllTIl-., ^\l.

on supposant successivement

/ = o,i,...,r, et /( =:r-\- i ,r-{-9, . . . ,rt. En ajoutant la condition

/ 4- A — r — I = .V , et faisant, pour abréger,

on aura

Pour /'> 5, les /' — 5 derniers de ces termes s'évanouissent identiquement, savoir

puisqu'on a

r/, 4 = — (7/ , et r/,, = o.

Par suite on a

''rjS Mo,,.|.i^| -f" fli^r+s r - • • ~T~ "s. '4-1 — — ^s,r \ )•

Pour r^-s^-I^^^, les 7-1-5 H- i — ?i premiers termes s'évanouissent, parce que, d'après ce qu'on a supposé sur le degré des équations,

^,i-l-\ 7 '^'1+-.', • • • 5 f^ii+l 5 ^"+-i5 ■ • ■ ■>

doivent être considérés comme nuls.

La somme des /' — i premiers termes de c,.,, est identique avec c,., ,^, ; on a par conséquent la formule

pour le calcvil successif des éléments de R.

(*) JACORI, IoC. cil, l>. 102.

(*") Jacoui, toc. m , |>. II').

APPLICATIOTSS DES DÉTEUMIIS AiNTS. 85

Exemples. — Pour trouver la résullanle des équations

G = èo H- 6, .r + ^2 x^, OU formera

et l'on obtiendra

do, 2 d,2

Pour trouver la résultante des équations

o = ao-\- a^ .r -+■ a. .v^ -\- rtj x^, o = ba -h h, x-\- b, x'^ 4- b^ x% on formera

et r

on aura

0,2 ^o.ii + ^^l.ï ^1

Pour obtenir la résultante des équations

on formera

O.il ' I.

SS SKCOftDK l'AUTIK, ^ XI.

ce qui donnera

do.

do.

do.

do

ch..

do.

H-rf,/.

do,

ds

do.

du

fi,

tL

On peut pousser plus loin le développement de ces déterminants, au moyen du § V, 2, et l'on peut se servir pour cela de l'identité

di.k di„, -h <//;,/ d,^„ + di^i c4,„, =:;: o

(§ III, 11). Sous la forme que nous venons d'indiquer, les résultantes des équations de degré élevé sont plus faciles à apercevoir que sous les formes que nous leur avions précédemment données.