R == o étant la résultante des équations
Y{x)-=.0 et (p(j:):=:0,
et Vr,, désignant toujours le coefficient de c,.^, dans R, du système des équations
il résulte, pour la racine commune x des équations
F(x) = o et a;(r) = o,
la proportion (§ IX, 3)
i étant vm quelconque des indices o, 1,. ., /i — i. Donc la racine commune des équations données, si toutefois il en existe une, est wna fond ion rationnelle des coefficients qui entrent dans les équations.
Des proportions
APPLICATIONS DES DÉTERMINAÎNTS. 87
et de ridentilé y^^,. = y, , (^ III, 9), il résulte qu'on a
d'où il s'ensuit; d'une part, que y,^^ ne change pas lorsque i~h k reste le même, et que l'on peut substituer les quantités y,^i, 7,i,<+i,... indiiréremment au lieu de "/i^ic'-, d'autre part, que Ton peut prolonger la proportion précédente jusqu'à la puissance 2 /i — 2 de x, de sorte que
Les quantités 70 5 7i » • • • » y^n+i forment donc une progression géométrique, dont la raison est la racine commune aux équations F(x) = o eî 9 [x) = o. De là on déduit les relations
7' -— V""^' ' 7^'-— 7o'-^' ? 7'+^ — - 7» '^'" > et par suite les identités
dont la dernière s'accorde avec le ^ Vil, 4.
8. Lorsque/( j:) est de degré inférieur à (f [x) , par exemple, lorsque f{x) est du degré ///, et (p [x) du degré ?i=m-i-p-, la résultante des équations/'(x) = o, (p [x) = o peut se déduire de celle des équations
xPf[x) = 0, (p(x)= o.
En effet, l'équation x^'f [x) =0^ outre les racines «ijas, ...,«,„, a encore/? racines nulles; par conséquent (2)
(*) Jac(<ui, Ioc . cit., p. 106.
88 SECOJSDE PARTIE, §X1.
est la résultante des équations x^J [x] = o et ^{x) = o, tandis que
estla résultante des équations donnéesy(x)=o et cp(a:)=o. Si l'on a donc trouvé, par la méthode de Bezout (5), la résultante R=:o des premières équations, on aura
pour la résultante des dernières équations données.
Dans ce cas, on peut démontrer que R est divisible
par ^^(*), à l'aide de la proposition (§VI, 4) d'après laquelle on a
Ju,i) • • • J^i,f
gu.u • • • So,n-i
Sn—\,a • • • gn—\,n-
Jp—t.o- • -Jp—t.p
lorsque, pour r = o, i , . . . ^p — i , on a
Cr,s=fr,0gs,O+fr,<gs,y +• • ■ -+■ fi.p-\ gs,p-, ,
et pour r = p,p+i,...,fi — i ,
Pour identiller la fonction F(x)dc Fart, o avec la fonction x''f[x) que nous avons à considérer ici , il faut poser
ao = o, «, =o, ..., ap i = o.
On a, d'après cela, pour /•= o, i, , . . , /? — ^ (^)i
r,,, ^ rt,^| br — fl,+2 />'r, ... — ^' /•+.!+! ^0'
( » ) RosKMl.UN, Jouinnldc Cirllr, t. XXVIIl, p. 268.
\PPL1CAX10-\S DES DÉXEUAÏI]SANTS.
En posant, pour ces valeurs de r,
il vient
J'r,r+i 1 fr,r+i i ' ' • devaut ôtrc considérés comme nuls. En posant , pour les autres valeurs de r,
on a eflectivement
JO,l) ' • ■ Jil,p—\
jp—i,0- • • jp—i,p—i
— bo 0 o
— b, — bo o
— b. — b, — bo
O o. . O ap ... «„i (In
O o. . apap+^...an o
■bp-, — bp;—bp,.
Cn-
Le premier de ces déterminants est égal à ( — Z^o)'' (§ II, 7) ^ l'autre est le déterminant des coefficients des n fonctions suivantes, de degré n — i ,
les dernières de ces fonctions devant être formées d'après la règle donnée dans l'art. 5. Donc la résultante cherchée des équations y (j:) = o et ^{x) = o est identique avec la résultante des équations
xP-^f{x)=0,xl'-'/{x)=:0,...,f{.T)=0, Up=0, ..«„, = 0.
Remarque. — En foi mant, d'après Bezout (/. c, p. SaS), au moyen de x''f[x) cl de cp(.r}, comme dans (5), K's
go SECOiNDE PARTIE, ^ XI.
fonctions «o, Wi , . . . , w,„i , de degré n — 15 en exprimant ensuite, à l'aide des équations
/(^) = o, xf{x)=o,..., xP-'f[x) = o,
les quantités x'", 0:'"+', . . . , x"~^ sous forme de fonctions de degré m — i, et réduisant par là les fonctions i/oj "i5« • -1 "m-i au degré în — i ; la résultante des équations
sera bien du degré m par rapport aux coefficients de op (x) 5 mais elle ne sera pas en général du degré n par rapport aux coefficients ([ef[x) 5 par conséquent elle sera généralement différente de la résultante des équations
y(a:) = o et cp (j:) = o.
9. Euler a montré, à la fin du Mémoire que nous avons cité plus haut (*) , comment on peut trouver les conditions pour que deux équations données, f{x) = o et (p (x) =0, aient deux ou plusieurs racines communes. Les éliminations qui conduisent à ce but sont plus aisées à apercevoir, lorsqu'on se sert de la méthode indiquée par Lagrange (**).
En désignant par a une racine de l'équation y(a") =: o, et posant ^(a)=z — ^, l'équation résultant de l'élimination de a entre les équations y(a) = o et ^ (a) 4-y = o, sera du degré m en r (1 )i et aura autant de racines nulles que y(.r) =0 et çp (x) = 0 ont de racines communes. Or de la résultante R = o des équationsy(x) =0 et «p [x) =0, on déduit la résultante des équation s /(x) = o et q) [x] -f-j' = o, en faisant croitre a> (o) = Z»p de j. En ..upposant que les coefficients h^, b^, . . . , h,, soient indépendants les uns des
(M Uisloirc de r Académie de Berlin, i^fi^, p. C)'\.
(*") Mi'woircs de V Académie de Berlin, i7-;o.« Rcncxioiis, elc.,>iart. 12.
APPLICATlOTsS DES DÉTERMIA AMS, QI
autres, et qu'il n'existe ainsi aucune relation entre les racines de l'équation (f {x) = o, R devient, lorsqu'on y remplace b^ par bo -h J,
(iba 2 dhl
Par conséquent
sera la résultante des équalionsy (jr.) =o et ^{x) -\-j = o. Les conditions pour que celte équation ait i, 2, 3, . . . racines nulles, et partant aussi, pour que f[x) = o et (p (a:) = o aient une, deux, trois. . . . racines communes, sont respectivement
R — o , -— z=o; dbo
dR d'R
^ = °' ^„ = "' dbl = '''
etc., . . .
dans la supposition que les coefficients de la fonction <f{x) soient indépendants entre eux 5 ou encore,
R = o, -— = 0, -—=0, da^ da^
etc. . . ,
dans la supposition que les coefficients de la fonction y (x) soient indépendants entre eux.
SECOJNDE PAKTIE, § XII.
§ XII. — Produit de toutes les différences de plusieurs quantités données.
1 . Pour désigner le produit de toutes les différences que l'on obtient lorsque, étant donnée une suite de n quantités ai, «2, . . . , a„, on retranche chacune d'elles de toutes les suivantes, nous emploierons la notation
P(a| , a,, . . ., a„) = (a, — a,) (as — a,) . . . (a„ — a,)
Ce produit est égal au déterminant de degré îi
Démonstration. — Ce déterminant est une fonction rationnelle et entière des quantités «i , «2, • • • ? ''''o et il s'annule lorsque deux de ces quantités deviennent égales entre elles (§ II, 4) ; il est par suite divisible par le produit (aa — ai). . . De plus, le déterminant, comme le produit,
sont du degré
par rapport aux quantités
C) Cauchy, Journal de l'École de Polytechnique, XXVll'^ cahier, p. 48- Le cas particulier
(6— a)(c — a)(c— 6) = ai'— a'b -\- hc^ — b^c-^ car — c^'a,
avait déjà été indiqué par Vandermonde, Histoire de l'Académie de Pans, 1771, p. 369. Le théorème précédent a été démontré par Cauchy {Analyse Alf;ébrique, l. HI, § 2, et Note IV ) ou développant le produit. VoiV J\cor.i, Journal di' ('relie, X.WW, ]•>. jfio.
APPLICAT10!\S DES DÉTERMINANTS. 93
donc le quotient du déterminant divisé par le produit est un nombre indépendant de ot.^^ a.^^ . . , a„ , et de plus, ce quotient est l'unité, comme on le reconnaît par la comparaison du premier terme du déterminant avec le premier ferme du produit.
Tandis que le produit renferme
termes, dont plusieurs sont égaux deux à deux et de signes contraires, le déterminant, qui lui est égal , se compose de I.2.3.. . /i termes. En vertu du théorème précédent,* on n'a plus à calculer,
dans le cas de 3 quantités, que 6 termes au lieu de 8;
5 1 2o 1 024 , etc.
2. Lorsqu'on multiplie le produit de toutes les différences des quantités «j, as, . . • , a„ par le produit de toutes les différences des quantités j3,, jSg,. . . , (3„, on obtient également un déterminant de degré n. Car on a (§ \ I, 3)
Cn,i ■ . . Cn,n
en posant
ou encore
( * ) Cal'chy, Exeicici's d'Aiiiiljsr. t. [I, \>. iGç).
94 SKCOKDE PAKTlEj § XII.
[i. On a on particulier
S„ .V| S-, ... Si,i
S„ — I S„ •Si+i • • '^2n—2
[P (a,, a.,,. . . , y.r,)Y = en posant
Dans ce cas, en effet, rélément c,,< du déterminant que Ton doit former (2) se réduit à la somme des [i-hh — 2)"""^' puissances des quantités a,, a,,. . .. On a plus généralement
les 5, du second membre ayant la même signification que ci-dessus, et le premier membre comprenant la somme de tous les termes qui se forment du terme initial
[P (a,, «2, • . -, «,«)]% en remplaçant les quantités
par m quelconques (dillTérenles entre elles) des quantités
«i^ a^. . . , a„. Car on a
Oh.I- ■ -C,,
{* ) CwLfA, Journal de Lioiwillc, t. \l, p. '2i)8 , el Bokchardt , Journal de Liouvilh-, t. XII, p. 58.
APPLICAIIO.NS DES DRTKKMliS A> IS.
en supposant
c,j = .Si+k-2 = y-^ v.^ H- x^ y.^ + . . . - Or on a, d'après cette condition (§YI, 2),
le signe de sommation ayant le sens indiqué plus haut.
4. Théorème. — En désignant par aj , a, , . . . , a,^ et par pi, (32,...,(3„ des quantités quelconques^ par
P(ai, «2 ••••,««) et par P(/3,, ,82,..., (3„) les mêmes produits
que ci-dessus, et de plus par JJ [a, — |S< ) le produi t de toutes
les différences qui se forment de cr, — j3^ en mettant pour i et A toutes les valeurs i , 2, ...,«: on a
nin — 1
y-i — [i, a.. — p2 aj — S„
a„— S, a„— fi,, a„— 8„
Démonstration . — Désignons le déterminant du second membre par A, posons
ç>(z) = (s-p,)(2-.(iO--(2-p,J, et multiplions les éléments de la première ligne horizon-
(*) Cal'chy, Exercices d'Analyse, t. Il, p. i 34 .
96 SECOISDE PAUriE, § XII.
talc de A par 9 («i ), les éléments de la seconde ligne horizontale par cp («2), et ainsi de suite : le déterminant A se changera (§111, â) en
Les éléments de ce nouveau déterminant sont des fonctions rationnelles et entières, du degré n — i, des quantités données: donc A TT (a, — (3/) est une fonction rationnelle et
entière du degré n [n — i), des quantités données. Ce déterminant devient identiquement nul, lorsque les éléments de deux lignes parallèles deviennent égaux (§ II, 4) ; donc il est divisible par le produit
P(a„a,,. .,a„).P(fi,,B,,...,[i„).
Mais ce produit est également une fonction rationnelle et entière, du degré n [n — i), des quantités données; par conséquent, le quotient
Ajj(a,-P,)
est un nombre indépendant des quantités données, et ce nombre peut s'obtenir par la considération d'un cas particulier.
Si l'on suppose, en effet, les quantités j3 respectivement égales aux quantités a, alors tous les éléments du déterminant A TT (a, — (S;) s'annulent, à l'exception ue ceux qui
sont situés sur la diagonale qui va du premier au dernier élément. Le déterminant se réduit donc à son terme initial
APPLICATIOWS DES DÉTEUMINANTS. gj
(§11, 7), c est-à-diie, au produit des différences
aj
''■'■Il
que nous désignerons (1) par
Il s'ensuit de là que
est la valeur constante du quotient cherché.
5. A Taide du produit P (aj, a„, . . . , a„), on peut donner une solution spéciale du système particulier suivant d'équations linéaires. Si l'on pose
.r, a -h .r , a' H- • ■ • + jr„ z" = /' ,
JT, a -f- JTj a^ + • • ■ 4- •»•„ a = t"~ ' ,
on a
(a,— a,)(a2— a,j. . . I a,,— xj (s:,u, — a,-). . .^j;,,— a,) ^
Dcnionstratioti. — La résolution ordinaire donne
(* ) Cait.iiy, Journal de l'Êcoh' Polytechnique, XVII*^ cahier, p. ■^3.
SECOiNDR
