SI

On en tire, en mettant les premières les i'""" lignes de ces délcrminanls, et appliquant le théorème de l'art, I,

d'où il résulte qu'il ne reste plus, au numérateur comme au dénojuinateur, que les u — i facteurs considérés cidessus.

G. Lagrange a donné (*), du système plus général d é- (juations linéaires

J7, a, -\-x-,c/..i -\- . ..A'„a„ = «I , .r, a -f-a.\. a -H-- ••jr„c' =r: «., ,

la solution suivante, qui renferme le cas considéré par Cauchy (5). Formons la fonction

(*) Mémoires de l'Académie de Berlin, 1775, p. i85; 1792, p. 2/|8, sans démonstration Lu «lémonstralion que nous donnons ici fait voir que la solution du système en question trouvée par SciiEiBMEr. {Complet vendus de lu Société Saxonne, i856; p. 65) ne diffère pas de la solution de Lagrange.

APPLICA'rU)^S DES UÉTKP.MIN.VNTS. QC)

d'où nous déduirons les fonctions

et de plus enfin la fonction dérivée /' (:;) . On aura

^if [y-i) = Uofn-^ (a,) -+- Usfn-.. (x,) +. . . 4- «„,./; (a,) -h «„,.

Démonstration. — En multipliant /'n.i (2),X-2 (^lî- • • respectivement par i,f, ?%..., et ajoutant les produits, C„i aura dans la somme pour coefficient

d'où il suit que l'on a '

De cette Identité résulte le système des équations

Multipliant ces équations respectivement par jj, jr,,. . ., Xni et faisant la somme des produits, il vient, en vertu des équations données,

lOO SECOIUDE PAKÏIE, ^ XII.

On voit par là que Xt^ x^, . . . , x„ ne sont autre chose que les numérateurs des fractions partielles dans lesquelles peut se décomposer la fonction fractionnaire

/f„/,i (z) H- "i/.-2(z) + • . . + u„, Ces numérateurs sont, comme on sait,

cp(2) représentant le numérateur de la fonction fractionnaire.

Si l'on a , en particulier, Uo = i , Ui = t, u, = ï*, . . . , il vient

ce qui s'accorde avec (5).

7. La résultante du système analogue de n -{- 1 équations linéaires, pour les mêmes n inconnues,

est, d'après le § IX , 3 ,

APPLlCATlOiNS DES DÉTERMIIS AMS. lOl

Cette même résultante se simplifie, en remarquant que

C,„ désignant la somme, prise avec le signe ( — i)'", des produits m à m des quantités difterentes de la suite a, , «2, • • . j «„5 et que, par suite,

s'évanouit identiquement. En multipliant donc les équations données respectivement par

et faisant la somme des produits, on trouve, pour la résultante de ces équations,

En comparant les coefficients de iii dans les équations (i) et (2), on obtient l'identité

= (lV'-' C„,-P(a,, a,,. .., a„]