Une fonction entière, homogène, du degré /« . de

102 SKCOADK l-Vrill., § XII.

doux variables x , y.,

r devant recevoir les valeurs o, i, 2. . . , m, el ( | désignant le r'''"" coefficient binomial relatif à l'exposant m, peut en général, pour m impair, se ramener à la (orme

^{P.^r-hqiy)'",

ni-i- I

où i doit recevoir les valeurs 1, 2, . . . (*). Car les

JH -h I coelficienls Pi , pi, ■ • ■ , fji , </»,,-' peuvent , en général, se déterminer complélenient au moyen des quantités données <7o, «, , . . . . Au contraire, pour m pair, en faisant

; ;=: I , 2, . . . , h I, VuU dcS m H- 2 COefficientS/^t ?/^25 • ' '■)

^, , q„, . . . resterait indéterminé. j

Pour réduire la fonction i

■?.n — 1 \ (in — i \ ^ I

à la forme ;

posons, d'après Sylvester [loc. cit.),

V = pr^-i, p, = ''<;

( *) Sylvesler {Philosophicnl Magazine, i8ji, t. II, \). ^(ji ) a donne à celh^ expression lo. nom de forme canonique. La l'orme canonique d'une fonclioii homof;ène enlièrc de deux variables a clé étudiée avec de plus grands dc-

vcloppcmenls par Syhcsler, {loc cit , cl Cnnil'iidfr and Ihibtin Maihcmatienl ■fpui nal, t. IX, ]i. rj'.^).

APPLICATIOJNS DES DÉTEUMIJN A>TS. lo3

nous aurons les conditions

a, = 6, a, 4- ^, y., -f- . . . + i„ 7.,, , <7. = i, a' -h ij x" -f- • ■ • -4- i„ a" 5

aj„, = A, a/' ' + b, a;" '-)-...+ (!'„ a^" ' •

En éliminant les quantités ij , b,, . . . , b„ entre la pnniière de ces équations et les n suivantes , on a (7)

C„ <7o -\- C„, rt, + . . . -h C, (7„; + C, 0„, H- ?/„ = 0.

On tire de même, de la seconde de ces équations et des n suivantes, et ainsi de suite, les nouvelles équations

C„ «„, + C„| rt„ 4- . . . -f- C, «2„3 -H C, «3„, -f rt2«-l = o.

D'ailleurs, en donnant à z une des valeurs «i , a? , . . . , «„ , on a

La résultante de ces n-hi équations, linéaires par rapport à C„ , C„, , . . . , est (§ IX , 3)

<7| ri 2 (7-,

«,i| /7„ <•/„+, . . . fl-;,,

Par la résolution de celte équation , on trouve les quantités «1 , «2, . . . , a„. Le premier membre de cette équation peut

104 SECONDE PAUXIE, § XII.

(^ III, 4-) se transformer en

^n—i » ^'n ^«— 1 3, • • • » ^'■2u~\ — ^Jn-

(Ct par snite (§11, 5) en

rt, «0 2,

Après avoir déterminé aj , o^a 5 • • • -» oc„ , on obtient les quantités Z»i, ^2 5- • •■) ^'i 31^^ moyen des n premières équations du système posé ci-dessus, art. 6, et là on trouve, pour condition nécessaire de la réductibilité de la fonction donnée, que les racines «i , «2 , . . . , a„ de l'équation pix'cédente doivent être toutes différentes les unes des autres.