Si l'on pose

et que ai, ag, ...,a„ soient f[x) = o, alors, d'après le §XI, 1,

rt, X "f- «.. a:' 4- . . . + On x",

es racines de l'équation

eqi

i et A: étant des nombres différents de la suite i, 2,. . ., //, sera la condition nécessaire et suffisante pour que deux quelconques des racines «i , «2 , • • • , <y-n soient égales entre elles. Le produit de toutes les différences, positives et négatives, des racines, produit que l'on peut représenter (3)

APPLICATIONS DKS DEXERMl -N A>TS.

par

a été appelé récemment le déterminant de ï équation f{^x)^=o (*), parce que sa valeur nulle indique l'existence de racines égales dans Téquation, et que, lorsqu'il n'est pas nul, on peut décider, d'après son signe, si, parmi les carrés des différences des racines, il y en a un nombre pair ou un nombre impair qui sont négatifs, c'est-à-dire si léquation a un nombre pair ou un nombre impair de couples de racines complexes.

10. Pour représenter le déterminant de l'équation y(x) = o sous la forme d'une fonction rationnelle des

quantités

on peut exprimer, au moyen des quantités données, les sommes des premières, des deuxièmes, des iroisiènies, . . . puissances des racines, c'est-à-dire, 5i , s^y . . . ^ s,, {**)■. où 1 on peut transformer le déterminant

.Vo .V,

Sn — I ^n • • • ^2n—J

de telle sorte que les relations établies par Newton (**'♦')

(*) Gacss, Demonstr. nova altcra, 6(Comm. Gœtt., vol. III). (*" ) Au moyen des formules données par Girard, en 1629. Voir Kli'Cel, Dictionnaire de Mathématiques, art. Algèbre, p. 56.

('** ) Arithméiiqur universelle, éd. S'Grave&ande, p. 192.

106 SIXOADE rVU'KE, § Xll.

entre Sq, s^, s-,^ ... condiiisenl à rélirainalion de ces dernières quantités. Poui employer ce dernier moyen, changeons le déterminant donné, de degré n, dans le déterminant suivant, de degré 2n — 2 (§11, 6) ,

\jQutons maintenant, à la seconde ligne verticale, le produit de la première ligne verticale par -^' ; à la troisième

ligne verticale, le pioduit de la seconde par -^' et celui

de la première par -^" ; à la quatrième ligne verticale, le

produitde la troisième par -^ , celui de la deuxième par

-^^7 et celui de la première par -^ ; et ainsi de suite. On

a a ainsi

^« -I ■'« ■ • • 'ïn ■

tin fin O <l„

f1n-^ fin

O !7„V|, a„s^ -\- rt„ 1^0

n„s, rr„.\, H- rr„...,s, n„<: , -|- ff„~\-''i -+- ''n-v^i

A 1 riido des identités

na,

[n — I rt,

So

-h an-

etc. , . . . ,

les éléments du dernier déterminant peuvent s exprimer de telle sorte que, dans chaque éléiiienl, il neutre qu un seul des coefficients «o, «1 , • • • ■> ".. à la première puissance.

On reconnaît ainsi que le déterminant de l'équation f{x) = o est une fonction rationnelle et entière, du degré 2/z — 2, des quantités

Un

qui devient homogène en la multipliant par a'' ' (*).

11. Si/(.r) est divisible par [x — a^j^ la fonction dérivée/'(jr) sera divisible par [x — ai)'-~\ f" [x] le sera par [x — a^) *~^, et ainsi de suite. Par conséquent, lorsque y-i sera une racine du degré de multiplicité A de l'équation f{^x)= o, les équations

/(.l-;=0. f'\x)z=zO, f"{x) = 0, . . . , fi''-'Ux) — 0

auront la racine commune cx^, qui entrera A — i fois dans y (x) =0, Ix — 2 fois dansy" [x) =0, etc.

En supposant maintenant quey"(a:) ne s'évanouisse pas en même temps (\\xef[x) elf [x) , soit R = o la résultante des équations f[x) =0 et^' [x] =0 ; R ne différera du déterminant deléquation/ (x) = 0 (jue par unfacteur indépen-

(*) Cette remarque a elc laile eu jiartio par Joachimslhal, iour/irt/ de Crelle, t, XXXIII, p, 37 t. puis compK-tpc par Jaçoh't, Joui nal dr C'rlle, t. XL,

SKCtiNDI. l'il'.riE, §MI.

La (juanlité Tî est, en effet, une

danl do — •> — i • • • i —

lonclioîi rationnelle et eiuière des (jiiantités

fi„ (lu a„

el elle est d un dei^ié inféiieiir à in — i , parce que, en vertu des équations données/ (x) =o et J' {x) = o, les coellicients dey(,r) ne sont pas indépendants entre eux ( voir ^ XI, 2- i). IMais on peut considérer R= o comme la résultante des équations de degré n — i,

puisque y'(jr) s'annule nécessairement en même temps (lue J' [x] el nf[x) — xj' [x). Les coeHicients de chacune de ces dernières équations sont indépendants entre eux; donc R est une fonctioa rationnelle et entière du degré n — i

( § XI, 4), des (juantités

f7„ (7, f^ln—\

f/„ (lu a,i

Le déterminant de Téquation f{x) = o est également une fonction rationnelle et entière des quantités

el du degré 2/; —2 (!0). Acluellenienl le délerminaut de 1 éqiiaiion/'(.r) = o ne peut s annuler sans (jue deux racines île l'équation/ (,r) =:= o ne soient «'gales cuire elles, ou que les équations y(.j) = o et /' (,r) = o n'aient une racine commune, ou cfuc; Pi ne s'annule. Donc li" délerminaut de léqualion J'{.r) = o ne peut différer de R que par un facteur indépendant des rapports des coellicients dey(.-r).

En réalité, le procédé iîidiqué dans l'art. 10 pour la formation du délcrniin.iiit nv réqu.UÏon /(•>') = o coïncide

APPLICATIONS DÈS DÉTERMliSAiSTS. lOt)

entièrement avec la méthode par laquelle Euler et Bezout ont formé la résultante des équations

f'[x)=zo, nf[jc) —xf {.v)=zo

(§ XI), 4 . En appliquant la méthode abrégée d'élimination de Bezout (§XI, 5), on trouve le déterminant cherché sous une forme plus concise. Les formes particulières que l'on a établies pour les déterminants des équations de degrés particuliers, se trouvent dans un Mémoire de Tortolini [^nnalidiSc. matem. Roma, novembre i855).

12. Au lieu de la fonction ^^(j:), on peut considérer la on homogène

fonction homogène

ou

qui est identique avec f[x) poury=: i (*). Les coefficients binomiaux ont été donnés comme facteurs aux coefficients de la fonction, afin que légalité de toutes les racines de l'équation y(a:) = o ou (p (x,/) =: o ait lieu dans le cas où

è„, h,, bo, . . . , b„

forment une progression géométrique. En remplaçaniy^(x)

par ff (x, i), on a, au lieu def'{x)^

fix

C*) Cet important artifice d'analyse a été employé par Plûcker, Sy st. der analjfl. geom., § 1, yjparHesse, Journal de Crelle, t. XXVIII, p. 102; par Joachimsthal, Journal de Crelle, t. XXXIII, p. 3/3 ; pnr Jacobi, Journal de Crelle, t. XL, p. 2/17, et par d'autres; et pour l'objet actuel, par Salmon, Higher plane cuives, p. 296.

el comme, d'après le liiéorème d'Euler, ou a

dx dy

il viendra, au lieu de nf [x] — xj' (x),

dy

OÙ l'on fait y = i après la différeulialion. Si R=:o esl la résultante des équations

dvf (.r, I ) r/(y [x, l )

dx ' dy

alors, d'après (11), Iv sera, à cela près d'un certain facteur numérique, le déterminant de l'équation ? (,x, i) = o(*).

On trouve, d'une manière analogue, pour l'égalité de trois racines, au lieu des condilions/"(j':) = o, f [x) = o, f" (x) = o, les conditions ♦

d'rj{x,l] d''ij[x,\) d'^m(.T,ï)

dx- dxdy dy ^

pour l'égalité de quatre racines, §

d-^tu(x,i) (P'jj(x,\) f /■' a; ( x , I ) d^ri,lx,l)

dx^ dx'dy dxdy- dy

et ainsi de suite.

13. Le déterminant de Téquationy (z) = o est le terme connu de l'équation dont les racines sont les différences entre les racines de Véquation donnée {**)■

(*) Soient j/,, u^,...,u^^ les quotients différentiels partiels de la fonction homogène u, de n variables; siR=o est la résultante des équations iij = o, «, = o, . . . , «„= o, R sera ce que Sylvester appelle le discriniinani delà fonction homogène ( Philosophical Magasine, i85i, t. II, p. /|06).

(**) Cette équation, connue sous le nom {^équation aux carrés des différences, a été employée par Waring {Mise, analyt., 17G2), dans la recher-

API'LICAlIO>S DES DCTF.RMI N A.N TS . II î

Si .r prend, en vertu de Téqualion / {:t ) = o, les valeurs

u prendra, en vertu de l'équation/ (x H- «j = o, les valeurs

D'après cela, en vertu des deux équations f[x-^u) = o etj'[x) = o, // prendra toutes les valeurs qui se déduisent de a, — «;[, en remplaçant / et Ji par tous les nombres de la suite I, 2, . . . , w. Si l'on désigne maintenant par \ (//) = o la résultante des équations f {oc) = o et f [x 4- //) = o,

V («) sera une fonction rationnelle et entière de //, du degré n~ (§XI, 2), puisque les coefficients de x dans f(x-\- u) atteignent et ne surpassent pas le degré // pai rapport à u. \ [u) s'annule lorsqu'on donne à u une des //" valeurs a, — a^^; par conséquent V [u) = o est l'équation cherchée aux différences des racines/^(a:) = o.

La différence a, — a^t étant nulle pour ^ = A, l'équation

V (//)=ro aura n racines nulles, et par suite \ iu) sera divisible par u'' . Les autres racines de celte équation sont en général différentes de zéro, et opposées deux à deux; donc

est une fonction paire de u du degré n (n — i), ou une

lonction de ir du degré

che des racines d'une équation donnée. Dans Jes Transactions philosophiques, 1763, p. 294, Waring a fait connaître, sans démonslralion, les équations aux différences des racines des équations du /(*' et du 5^ degré, avec les caractères qui en résultent pour la réalité des racines de ces dernières équations. L'équation aux din'érences des racines d'une équation donnée a ete traitée avec développement par Lagranije ( W/5to(;e de i Académie de Berlin, 17(17, p. 3i), art. S. et llcwlution des ctfuutions numériques, art, S et 96).

.-J. SIXOWDE PAI'.TIE, ^ X[ir.

Comme ou a, par le théorème de Taylor,

V (») = o est évidemment la résultante des équations

et

Via)

II

la lésullante des équations

En faisant, dans cette dernière, ii = o, on obtient la résultante des équations f{x) = o et/' (:r) = o, c'est-à-dire la condition pour que deux racines au moins de l'équation f{x) = o soient égales entre elles (11 ).

^ XIII, — Des déterminants Jonctioniieh.

1. Etant données n fonctions/,,/,. . .,/, des n variables Xi, oTs, . . . , x„, elfi,k désignant la dérivée partielle de / par rapport à la variable .r^, de sorte que

le déterminant de degré «,

fn,. f „:..... fn.n

\PPLICAllO>S DES DÉTERMINANTS. Il3

s'appelle le déterminant du système des fonctions dojinées ou le déterm,inant fonctionnel du système [*). Ce déterminant se réduit à un déterminant de degré inférieur, lorsque, par exemple, f ne dépend que de x^^f que de x^ et de jCg {§ II, 5). Le déterminant fonctionnel se réduit à son terme initial, lorsque /l est une fonction de x^^ f une fonction de x^ et de x,,^^ une fonction de Xi, àex^ et de T3, et ainsi de suite (§11, 7).

2. Soi if une des n fonctions données de Xj , Xg , . . . , a:„ , dans laquelle la variable x^ ne manq.ue pas : alors Xj est une fonction déterminée de/i , x, , . . . , x„. Sohf une des fonctions restantes, dans laquelle la variable x, ne manque pas, après que Xj a été exprimée au moyen dey^, x, ,. .., x„ : alors Xa est une fonction déterminée def,f , X3 , . . . , x„. Soit ^3 une des fonctions restantes, dans laquelle la variable X3 ne manque pas, après cpie x, a été exprimée au moyen def^ x,,..., x„,etx.2au moyende/1,/9, X3,..., x„ : alors X3 est une fonction déterminée àef,f,f, X4,..., x„. Et ainsi de suite. D'après cela, on peut considérer, quoique en général implicitement,

y, comme fonclinn de -r,, j-;, x-, , .i„,

/ de /,, X,, ./■„ , .r„,

A • ■ de /;, /,, j',, , x„,

fn de /,/,,/„... , /,,, x„.

En entourant de parenthèses les dérivées partielles des fonctions ainsi transformées, pour les distinguer des dérivées partielles des fonctions données, on obtient le déterminant fonctionnel du système proposé sous la forme du pioduit

àf\ ( 4f\ (cif:

( " ) Jacobi, De delerminanlihus functionalihus [Journal deCrellc, t. X\ll, p. 319), § 5.

(**) Jacobi, Dei.funct., § 8.

ii4

SKCOWDI'. PAliTIK,

Il etaii

t pas différent de -^î laiidis que ( -j- | diffère

de ^ en ce que f^ est considéré, dans le premier cas,,

comme une fonction de/i, x^, . . . , a:,,, et dans le second, comme une fonction de a:,, 0:25 • • • ^ ^«î ^^ ainsi de suite.

Démonstration . — D'après la supposition faite suryj,on a

df.

d.T, \df,

■ix,j \d/,l \dxj

dfi dfi

On a donc (§VI, 1)

dxi, Ifi

dx,

dx,

dj\

dx,

dx.,

dxkj