CI
\dxj \dx.,j
(df\(^\(4f.\ [dxj \dxj \dx,l
Les deux derniers déterminants se réduisent à leurs termes initiaux (§11,7)^ l'un a pour valeur l'unité, l'autre est égal au produit ci-dessus.
3. Théorème. — Si le déterminant R du système de fonctions fi^J^,- ■'•>/„ s'annule identiquement, les fonctions données ne sont pas indépendantes les unes des autres, et réciproquement (*).
Démonstration. — Si le délerminant R s évanouit identiquement, il faut qu'un des facteurs du produit (2)
\dxj \dxj ' \dxj'
(*) Jac.obi, Uil. funct., 5§ G et 7.
\PPLICAT10i\S DES DÉTKKjVII M AATS. Il5
s'annule ideiitiquemenl. Or les quantités
sont, en général, ditierentes de zéro, puisque, par hypothèse (2),/'i contient la variable J"i, /!, la variable .r, , . . . . Il faut donc que co soit
' df^' d.T„
qui s'annule identiquement, cest-à-dire que la detnièiefouf lion^, doit pouvoir s'exprimer indépendamment de x„ , au moyen dej]^ f^ ,. . .,/^,i seulement. Mais il peut aussi se faire que a;„, et x„ n'entrent dans aucune des deux dernières fonctions, après que l'on a exprimé la variable ,r, au moyen de/,, x, , . • . , x„ ; la variable x^ au moyen àefi^f^, Xs. . . ,.x„, . . . , et cniln la variable x„^ au moven de /,,..., /„2i x„i, x„. Dans ce cas. la (juantité
doit aussi s'annuler identiquement, cest-à-dire que chacune des deux dernières fonctions /„,, /, doit pouvoir s'exprimer indépendannnent de x„,, t„, an iiioven de j xtfï-, • • ■ , fr.-'î seulement. Et ainsi de suite.
Réciproquement, si les fonctions données ne sont pas indépendantes les unes des autres, mais que /,,, par exemple, soit exprimable en/i,/',,. . ., /,i seulement, sans x„.
1 ( dfn\ -j . , . .,
alors I — I est identiquement nul. et par suite il (mi est de
même de R.
Cas particuliers. — ^'^f\->f-2 /, sont des fonctions
linéaires de .Xi, X2, • . • , x„, le déterminant de lenr système ne diffère pas de celui des équations linéaires (§ÏX. I)
Il6 SECOiNDE PMITIE, ^ XIII.
Dans le cas où ce déterminant s'annule, Tune des fonctions données est exprimable au moyen des autres, en vertu d'une équation linéaire de la forme
et les équations données ne sont pas indépendantes entre elles (§ IX, 2).
Si Ji-, f^, ..., fn désignent les dérivées partielles d'une fonction F, le déterminant fonctionnel R n'est autre chose que le déterminant des dérivées partielles du second ordre de F, et a été appelé par Hesse [Journal de Crelle, t. XXVIII, p. 83), pour abréger, le déterminant de F. Le même déterminant fonctionnel a été nommé par Sylvester [Canibr. and Dublin math. Journal, i.^l^ p. 186) le Hessien (Hessian) de F. Lorsque, en particulier, les dérivées partielles de F sont liées par une équation linéaire de la forme
le déterminant de F s'évanouit identiquement; et par la substitution linéaire
F se cliangc en une fonction des variables /i, J?, • • • 5j>0,i, à cause de
dY . fl.r^ (lx„
/ly,, dr I, dy,,
^o/r Hesse, Journal de Crelle.^ t. XLII, p. 117.
4. Soit U une fonction donnée des quantilésyi,^'^, . . . ,f„, chacune de celles-ci étant une fonction donnée des quau-
APPLICATIONS DES DKXEKMIJN AMS. II7
lilés Xi, X2, .... a.',,; soit, de plus, R le détermiiianl lotictionnel
L'inlégiale raulliple
Ç\]dj\cif,...dr„
est égale, en valeur absolue, à l'iulégrale
/ lJRr/.r,<-/.r,,. . . (Lr„,
les limites des nouvelles intégralious devant èUe déteruiiiiées au moyeu des limites dounées des intégrations primitives (■'').
Démonstration. — Considérons d'abord, eonime cidessus,
/, connue une fonction de .r,, j . , •> , , . , .i„,
f: . de / , , X2 , x,,. . . , ./:„ ;
/:, do ,/",,/, , X,,. . . , .r„ ;
/, de /,,/':,.. . /„, , .r„ ,
et distinguons les dérivées partielles des fonctions transformées en les entourant de parenthèses : ou pourra introduire successivement, comme il suit, les nouvelles variables dans l'intégrale donnée.
Eu commençant par intégrer par rapport à^^,, il fauilia
(*) La transformation d'une intégrale multiple a été elïectuee poui' la première fols par Euler, 1709, Nov. Conim. Petrop., i/|, I, p. 72. Peu de temps après, Lagraiije ( .Ut'/nof/rj de V Académie de Berlin, 177J, p. ii5):i tiaite la transformation d'une intégrale triple par une méthode applicable au cas général . La transformation d'une intégrale multiple en gênerai e-t duc il Jacobi (Journal de Crelte, t. \ll, p. :>S, et l)ci . Junci., 4J 19).
Il8 SKCOJND1-; PAUTIK, § XlII.
remplacer la difllérentielle df,^ par ( — ^ j dx,,^ pour intro- (luire, au lieu de la variable/^,, la variable x„. On a d'après
Ji. ,(/;,//,... -./,= Ju(;|;)
r//i . . . (■//,, dx„.
En eommençant le développement de cette intégrale transformée par l'intégration relative à /i,i, on devra rempla-
cci- df„i par ( "~' j r/x„, , pour introduire, au lieu de
la variable /„i, la variable .r„] , ce qui donne
En continuant ainsi, on obtient finalement
Mais le produit des dérivées artificielles qui supposent les transformations ci-dessus, n'est autre chose que le déterminant des fonctions données J'i,/^-. • • • j^» (2).
5. On parvient à la même règle en poursuivant la méihodeque Lagrange a employée (/. c.) pour la transformalion d'une intégrale triple.
/", , /j, . . . . f„ étant des fonctions des variables
on a le système des érpiations linéaires
r//;, ■-/„,, r/.r, +J],.^,l.r, H- . . . ^f„„dx„.
APPLICATIOAS UKS DKTEUMI JNAINTS.
La résolution de ce système donne (§ IX, 1)
'^'..kdf, -(- 'î>.j,df. H- . . . -t- cp„,K^/, = ^ndxk, en posant
/,,••- fun
et désignant par (jp,,< le coefficient de y]^/;, c'est-à-dire de ~
dansR„, de sorte que, en particulier, (p„,„ = R„, (§111, 5). Soit maintenant
U df\ df,... df,,
l'intégrale multiple à calculer, et U une fonction donnée ^^ fil f^i • ' ' 1 fn' Si, dans la suite des intégrations à effectuer, on commence par l'intégration relative à/^,, on a à chercher la somme delà différentielle Vdf,,, avec la condition que yi,y25« ••> ^.i restent constantes. D'après cette condition, on a, dans le système précédent d'équations linéaires,
d/, = o, r(/; = o , . . . , df„, = o ,
et par conséquent
de sorle que l'on peut remplacer rlf,, par — -^ dx,,. On a
par conséquent
Jvdf^...df„= Jl]^
les limites de x„ devant être déterminées d'après les limiles données de /^. Si l'on commence le développement de lin-
I20 SECOiNDE PAIVTIE, ^XIII.
tégrale ainsi tiansformée par l'intégra tion relative à la variable/„i, on a à chercher la somme de la différentielle
U — — (Jjn-\ if\->f^i- • •ifn-'i', Xn restant invariables. Mais
on a, dans cette supposition,
cl/, = o,..., df„, = o , dx„ = 0 , et par suite on a le système de n — i équations linéaires
df„, ^fn-x,, dx, -\- . .. +/,,,„, dx„,. On en lire, comme ci-dessus,
R;,-i df„^ = R„i </./■„, ,
de sorte que l'on peut remplacer df„^ par — ^ rlx„i, ^^
u — -- dj'„^i par U — — dx„^i. On a donc, en prenant des limites convenables,
/R r R U — - dj\ . . . df„, dx„ = I U df, . . . df„, dx„, dx„. R«-, J R'— ■
L'expression qu'on vient de trouver pour l'intégrale multiple cherchée peut se transformer par des considérations analogues, en remplaçant, en vertu d'un système de 7i — i
équations linéaires, df„^ par -^^ rfj?„2 , ce qui donne
\] ^ dj\... df„^,dx„,dx„
Rn-2
U ^^ df,. .. dj],__; dx„i dx,^^^ dx„ ;
APPLIC\Tro]NS DES DK lEilMl.N V >>TS . I2i
et ainsi de suite. On trouve enfin, de la même manière,
/ U -^ df, dx. . .. dx„= I UR„ dx, dx, . . . dx„ ,
en commençant par intégrer relativement à/,, et remplaçant, en vertu des conditions
(^X^ =: G , f/.r^ =: o , • • , .dx„ = o,
la difierentielle dj\ par -^ r/x, , cest-à-dire par Hidxi.
6. Si/i,yo,. •••,/„ "P sont pas données immédiatement en fonction de Xj, jr^,. . ., x„, mais en fonction des p quanti tés 7,, y^^. . .,j^, lesquelles sont des fonctions données des variables Xj, j:.,,. . ., x,,, on trouve leur déterminant fonctionnel de I9 manière suivante {*). On a, par hypothèse,
(ÏÏi dfi dy^ dfj^ ^h^ , dfi dy^
dxk dy, dxk dy. dxi, dvp dr^
j (ly,
Oi.k=^-j- • dXk
Si 1 on désigne par P, Q les déterminants des éléments a, b, et par R le déterminant cherché des éléments c, o)i a (§ VI, 1), pour p<:^n,
c est-à-dire que, si les fonctions données peuvent s'exprimer au moyen d'un moindre nombre de fonctions des mêmes variables, le déterminant fonctionnel est identiquement nul, comme on pouvait s'v attendre d'après le théoième (3).
; ' ) Jacobi, Pet. Juncl . , § n .
et par suite
Ci,K = ff,,, è.
k-^ fi,,- b-,,k -f-
en posant
<^i,k = -J- •> dxk
(ii.k = -J- '
J Wi SKCOAUl': VAI'.TIK, ^ XIII,
Si p = n., on a R = PQ, c'est-à-dire
dx,
dr.,
r/X| dx„ dj^ dji,
Si /> > //, on a R = S PQ, c'esl-à-dire
dx,
df^ d.T,,
dfn
dx,
dx,,
Ml.
dx.
df, dx„
df.
dy,.
df djr
djs
dy.
df„ dr.
df,.
dx.
djr
dy..
dx,
dx.
dXs
dys
dx.
Les ternies de cette somme s'obtiennent en prenant, pour Je système /•, v, ■ . . , toutes les combinaisons de ?i indices
pris dans la suite i , '2 .. . . , p.
7. Si^j ,/.>,• • -, fn "G sont pas données explicitement en fonction de Xi, Xa,..., x„, mais implicitement, par la condition que n fonctions çp,, (^a,-.., cp„ des variables
/n/21 • • • tjn-, -^n -^2
df df, d.T, dXii
lion. —
'Ml... Ml
dx, dx„ Dèinoiislra
S annu
ent,
on a
dtif.
df,
df,.
drs),i dJ,
df„ dx„
d'-^u 'df, '
dv^n
En vertu des équations données
-i;, z=z o, tuj = O, . . . , 'i^i. = O,
chacune des quantités /i, J,,. . ., /„ peut s'exprimer au nioyen des quantités Xj, x., . . . , x„. En substituant les valeurs trouvées dans l'expression cp,, on obtient l'identité jiz=:o. et en différentiant celle-ci ])ar rapport à X/., il en
( *) Jai.oi'.i, Dit. /iiiHi . , «i 10.
\PPLIC\TIOJVS DKS Dl'.TKr.MI-\AMS
lésiille 1 identité
d^. <lf„
d<fi d<!ji dji dxu df\ dj I;
^ df„ dx,:
«•'est-à-dire en posant
<^iÀ
('i.k = ^,M «i,A- -f- • • • -t- (>,.,. fl,.,l. ,
d's, , (l'Sfi
6,,/,= —rx-> ('i.i:
dXl;
En désignant les déterminants des éléments c, b, a respectivement par T, S, R, on a (^ M, 1) T = SR, R=:T:S,
et daillenrs(^I]I, 2]
