T = (— II

<7.r, dx„

dro,i ^{p„

<tx, dx„

8. Lorsque /,, /,,..., f„ sont données en fonction de J?! , x, , . . . , x„ par les conditions que n -\- p fonctions

?n 92, •■•»?-<+? ^les variables/,, /a,..., /,^^, x,, x,,..., x, s'annulent, on a (* )

dxy dXn dxi dx„

r/cp,

dtsj^

do,

dr, '

doi

rZ-r,, r//;,+ ,

df,.,,,

df„,-p

dx,

dx„ (if„^,

df„^r

df\

dfu^..

Démonstration . — En vertu des écjuations

on peut exprimer /„4.|, /„|__,, . . . , /„^^, au moyen des autres

( * ) .).\roiii, \): I . fini, I . , ^ \'.\ .

124 SECOJNDE PAHïlK, ^ Xlil.

i|uanlilés; par conséquent, en vertu des équations

les quantités /^ , /,»•••» fa seront exprimables en Xi, x.,^. . . , x„. On a donc (7), pour i = i, 2 ,...,// -f- ^, tant que A ne surpasse pas «,

(h. df,

^ If. d^l.

c'est-à-dire

i,l:= ^,,1 fl

en posant

d^i dxk

r/tp,

Si au contraire A est plus grand que n , posons

Ci, h = -77 = fc*;./.-

En désignant les déterminants de degré n -\- p des éléments c el b ^ et le déterminant de degré n des éléments a respectivement par T, S, R, on a (§ \I, i)

ï = SR ,

On a

, en particulier,

dx, dfi

dfn

<i^„ fi(f„

dtfn

dx, df.

df.

df.

{). Soient /,. /«,. . . , J'„ des fonctions;, indépendantes cnlie elles, de x^, x.,, . . . , x„ ; les quantités O-'i, Xg,. . . , x„ seront aussi des fonctions intlépendantes en In; elles de /,, /s, . . . , /„. Le déterminant du système ^j, J.,..., j'„ cl c<;lui du système .r, , Xj , . . . , .r„ sont réciproques 1 un

^PfL'CATlONS DES DÉTKIÎMI.N A>TS. 12;)

de l autre, c est-à-dire que leur produit est égal à Tunité (*).

Démonstration. — Pour difîerentier y] par rapport à //, il faudrait exprimer Xx , a:», . . . , jC„ au moyen de J]., f,^. . . , ^/„ , et former

c(fi dx^ dfi dx-i dfi d.T„

dXi dfk dx. dfu ' d.T-n dfk

Or cette somme est égale à zéro ou à T uni lé selon cjue A est ou n'est pas différent de /, puisque /i, y,,. . . , /„ sont indépendantes entre elles,

T-. / • <■(// dxi , ,

Désignons — — par «, <, -y-p par /;,,,, et la somme en dxk ^ ' djk

question par c.^^. En désignant de plus par R, S, T les déterminants

on a

bu

et par su

lie (§VI, 4

(ti,,. b„.l. ,