Pi et S avant la signification ci-dessus, et les coefti

(*) Jacobi, Det. funct., § 8. — Voir Moebus, Journal de Crcllc, l. \\\, p . 1 1 6 .

SKCOIS'UK VVIITIK, '^ XIII.

t'ienls de — — tlans K et de — : dans Î5 étant désignes par

«,,<. |3,-^<, on aura (*)

~dfk~'~^' d^k~^'

df,„^.

dfm-^l

df,n dx„,

'/•-fm-M

dx„

df„

dx„

df\

dx,„+,

dx^

dfn

df]„

dx„

dx,

df„

Dé\noiïStratioii. — D'après les notations employées (9), on a

fin A b>,/< -+- ">i,-2 b-'J + . . . + fi„,u b„,i! = o. Multipliant ees identités respeetivement par

el faisant la somme des procinits, on a (§ III, I)

Rb,,t=n,i- Un a de plus (§ VU , 2)

'•m+i.TO+i- ■ •'*m+i,A

{ *) jACUlil, f>''/. /uiict , §§ 8 et y.

\PPLIC\riONS UKS DÉÏKI\M1> \> rs. 12-

Eu subsliluant les valeurs que 1 on vient de irouvoi pour a,,,,. . . , «,„,,„, le premier membre devient (§ III, 2)

d'où résulte la seconde propriété énoncée. Les aulics propriétés résultent de celles que Ion vient de démon Inr. en échangeant simullanément / avec .r , Pi avec S.

11. En désignant par t une quantité dont /,. /'.,, dépendent suivant une loi donnée, on peut former

dj\ dt'

dt'

Les quantités x,, Xi, ..., x,,^ qui entrent dans ces quotients diflerentiels, peuvent s'exprimer au moren dey,, /,,. . .,J„, et alors on peut diOérentier ces quotients différentiels suivant fi^ /,,... . Le déterminant fonctionnel R (9 et 10), qui était d'abord une fonction de x, , Xj, .... x„, peut s'exprimer au moven de /, , /o, . . . , f„. et alors on peut le différenlier par rapport à /. En désignant, d'autre part, par //. une quantité dont x,. jTj , . . . . x„ dépendent suivant une loi donnée, etc., on a, d'après les notations admises (*).

.'/logR ~~dt^

df:^

df.

"m -'[^lû]

4fn

(*) Jacobi, Dit. funct , § 9. — Voir Jalubi, JouinnI de C.ifHf, t. X\^'1I, p. 109.

I ay SKCOJNDK P\I'.TIK, ^ Xfll.

pareillement

d.r, dx; (l.T„

«logS du du du

du d.Vi d.T. dx„

dXi dx2 djc-n

On a en particulier (*)

df, df, df,,

da.it, dtxu,2 dy.i;^„

dXi dx, «.r„

Dénionslratiou. — D'après le § III, 10, on a

^ = 2 "'■•'• -TF' i,k

et d'ailleurs (10)

dt dt f/.r/,

Mais on a maintenant

d-'fi tix^ d\fi dx, d'fi dx„ __ dt

dtdx^ dfi dt dx^ df, dt dx„ dfi dfi

et par suite

c/R y^ '^ dt d log R 'y dt

~dt ~ 2d~df~' dt " 2m~dJÏ'

(*)Jacoi!I, Joiini/il (Ir Crrllr, i. XXVII, p. ;>.o3 .

\PPLlC\TlOAS UKS DKTl'.nMlJSAKTS. I 29

On a, de plus, RS = i (9) et par conséquent

logR + logS = o, et

/•/loi' S «r^ (It

dt ^ dfi

Le déterminant fonctionnel S étant une fonclion des quantités j\^ /a, . . . , /„, qui renferment la variable f , on a

dS d^df, dS df, dS df„ *

"dt ~"df,~dt '^ df,~dt '^ " '^ If.lft'

Si Ton joint à cela que

dS df, dt \ dt

df,dt'df, dj, '

on obtient la seconde des identités que nous avons posées. Les identités analogues s'obtiennent par récîiaiige simultané de /, y, R avec h, x, S.

Si on partit nlicr ? = o'/ , on a (10)

S-fi = p,.„ etc.

12. Si Ton désigne par X, Xi,..., X„ des fonctions données de x^ Xj,..., x„, par/ une fonction indéterminée des mêmes variables, et que l'on pose

? iy ) = -^ T- + ^1 3 — h . • . -I- x„ — — : d.T d.T^ dx„

si l'on désigne de plus par/",, y,- •••■,/„•, '^ solutions indépendantes entre elles de l'équation linéaiie aux dilîérentielles partielles (|; (/) = o, de sorte que ']; (/i), '\i ( /a), • • -, 'If {fn) s'annulent identiquement, il existe un nniltiplica-

l3o SECONDE PARTIE, ^ Mil.

leur M, au moyen duquel '^ (J) devieni le délerminanl des fonctions J , fi, ■ ■ ■ ^ /„, c'est-à-dire qu'on a

MJ.(/) =

el l'on a, eu désignant par / un indice quelconque, et ])ar A,

le coefficient de -— dans le déterminant fonctionnel ,

clx,

ou, ce qui revient au même, M est une solution de l'équafion linéaire aux différentielles partielles

df df

d.T dXi

dx„

df, df,

dx dx^

dx„

df„ df.,

dx dx.

dx,,

d(jiX„)

dx,,

Eu clfet, du système des équations linéaires

dx.

O :=X — - -|~ X, -;dx dx,

o = xf H-X.f ax dx,

dx„ dx„

dx„'

il résulte (§IX, 1)

J.f/)A, = X,R, R désignant le déterminant du système linéaire, et A, le

( " ) Jacobi, Journal de Ci clic, t. XX VU, p. 210.

cuefliriciit (.If -— dans I». Si l'on fait inaintenaiil

A, =MX,,

on a (11)

djMX) ^ d(MX,) ^ ^(MX„;

dx dxy dxn

Remarque. — La fonction des quantités j:, x,.. . . , r„ désignée par M, a été nommée par Jacobi (/. c.) le multiplicateur de l'équation aux différentielles partielles

^(/)=o, ou de l'équation aux différentielles partielles

aX^ dXn

ou du système d équations différentielles ordinaires

d.T : dx, : dx. : ... : dx^ = x ; x, : x, : . . . : x„ ,

parce que la résolution de ces équations aux différentielles partielles et celle du système d'équations différentielles ordinaires sont étroitement liées entre elles. Soient, en effet, t: une solution de l'équation '| [f) = o, et x une fonction de Xi, j:?,. . ., j:„, déterminée en égalant t. à une constante arbitraire : on a

dx «.r.

dr: dv dx

dx, dx dx,

diT dr: dr. dx

dx ' dx, ' dx ' ' d.i:,

et par suite

dx,

Soient, d'autre pari, y,. /-2,. . ., J„ des solutions indépendantes entre elles de l'équation li (/") =z o : en égalant ces

l3a SECONUK l'AUTIF, §MV.

solulioiis ;i lies conslaules, on a

dx c/.r,

^^dx+^dx^^.

dx dx^

■ + -r-dx„ — 0, dx„

el, parla résolution de ce système linéaire, il vient dx : f/x, : af.r; : . . . r= A : A, : A , : . . .

^ XIV. — Théorèmes sur les fonctions homogènes.