D'après les notations adoptées, on a

m (ni — I )ii = ^^x,xi. iii,h {*** ),

/ et A^ devant être égalés successivement à i, 2, . . . , //.

(*) Mechanicit, 1736, t. Il, §§ 106, l^Ç)-]. — Cale, diff., § -.vj.'j. (*") Hesse, Jou/vîflZ deCielle, t. XXVIII, p. 78. ( *'*'' ) Lacroix, C^/c. di//., § 91 .

APPLICATIONS DES nÉXERMIKAMS. l3>i

Démonstration. — Eu mullipliant lesidenlilcs ci-dessus respectivement par .ri, Xo, . . . , .r„, et les ajoutant, on trouve, pour second membre, la somme en question, à cause de

ci' a d- Il

elxi dxji (txk dx,

et, pour piemier membre, m [m

ii,.k

in.,,

i) «, parce quOii a (1

Remarque. — Si l'on exprime à leur tour les dérivées partielles secondes de la fonction homogène au moyen de ses dérivées partielles troisièmes, on obtient, pour la fonction homogène, la somme des produits de ses dérivées partielles troisièmes, multipliées par les variables par rapport auxquelles elles sont différentiées 5 et ainsi de suite. Toutes ces décompositions d'une fonction homogène s'obtiennent, comme l'a remarqué Serret [Algèbre super. ^ note XII), en multipliant les variables par i 4- w, et par suite la fonction homogène par ( 1 + w)'", et développant l'identité

f[x^ -f- oj-r, , .r2-l-wjr2,.--,-^/<-f-w-^«) = (l -t- w )'"/'(.r| , J-, , ...,.r„),

par rapport à w, à l'aide du théorème de Taylor.

3. La résultante du système de « -f- i équations linéaires identicjues, donné au n'-* I , est (§ IX, 3)

it,, «,.„ . . . >'/„

en supprimant le facteur /// — 1 daus la première ligiuverticale d'éléments (§ III, 2). Le délcimiiiant de degré n-\- 1 qui compost- le prcniici membre, pciil. (^ IIL -» )

l34 SECONPE l'AUTlE, §XIV.

ctie considéré comme la somme des délerminanls

II, // 1 , 1 . . . It,t

n //, ,„ . . . u„ „ I II,, II,,, . . . Il,,,,

Le premier de ces déterminants se réduit (§ II, 5) à

ni m — I

Le second déterminant peut se développer d après le § \ .'2, pane que », / = «^ ,. Si Ton pose, en effet,

II, , . . . Il,,

ei (|u'on désigne par «,,< le coefficient de ii, ^ dans t', de .sorte qu'on ait «,,/,= «/i,, (§ Hli 8) , il viendra

o II, ... /^,

•'/„ "i.„. • . It„.n

Pal suite, Tidentilé ci-dessus devient

in' — y II, in a.,,iiz= o (*;

Hessl, .Iouiim} (h Cnllc, t. XXXVUl, p. ,>.(3.

APPLICATIONS DES DÉTKKMtNASITS.