II) ^, = '—V, ^,J,= ' ' V

o. Les lelations que nous venons de démontrer sont d'une grande utilité dans la théorie de la courbure des lignes et des surfaces. Soity une fonction des coordonnées rectangulaires x^y d"un point ;/"= o sera l'équation de la ligne sur laquelle se trouve le point [x,y). En posant, de plus,

dx"- ■ " ' dx dr tir dx ' ' c/r '

on sait que

est l'équation de la normale à la ligne (/= o), menée au point [x^y) de cette ligne, |, y; désignant les coordonnées d'un point quelconque de cette normale. En posant

el dilïérenliant complètement ces écjuatior)s, il vient

{x — i) d\ -4- \ dx = dj\ , („■)■—«) d\ + / dy = df\^

/i - = df^ — A dx , f. = df, — Â dy

( * ) Cela s'accorde avec les relations établies par Hesso, Journal de Vielle, t. XXVIll, p. io3,ctt. XXXVIII, p. 24i.

APPLICATIORS DES DÉTERMINAJNXS. 13^

pour la normale à la ligue (^ = o) , au point

{x -^ r/.r, y + cly),

laquelle a de commun avec la première normale le point i^^^i) 1 c'est-à-dire le centre de courbure de la ligne ( /"= o) au point [x^y). Des équations

o= Ad.T^ f,dr,

ri A

l^.dy,

/,— = /;, dx -h (/., — A ) dr ,

il résulte (§ IX. 3) 1 équation o /, /.

pour la détermination de /. En développant cette équation d'après le § V, 2, on trouve /| ~^f\ pour le coefficient de À , et, pour le terme indépendant de X ,

On a par ( onséquent

Enfin, on a, pour le calcul du rayon de courbure, que iious désignerons par p, la formule

p-= (X — ç :- + („■» —>jj- = -^ y

(•{ pour la valeur de la courhure.

l38 SECOJNDE PARTIE, §XIV.

Le détorminant L est plus facile à Iraiter lorsque la l'oiiclioii à laquelle il se rapporte est homogène. En désignant par it la l'onction homogène des variables Xi ^ x^, X3 , qui devient identique avec/ pour 0:3 = 1 , on a (4)

«, Mil «ij

on posant

«,, «ij II,