U-2', II

et faisant ^73=1 après la ditférentiation.

Les points de la ligne (/= o) ou (m = o), pour lesquels L ou ^^ sont nnls, et par suite la courbure nulle, sont en général des points d'inflexion de la ligne. Ils peuvent être considérés comme les intersections de la ligne (y=o) ou(h = o) avec la ligne (L=o) ou (1^ = 0). Or y" et u sont, par hypothèse, du degré m, tandis que u est du degré 3 (m — 2)5 par conséquent les lignes en question ont en général 3m (m — 2) intersections. Donc une ligne de degré ni a en général 3 m [m — 2) points d^injlexion (*).

6. Si / est une fonction des coordonnées rectangulaires X, y^ z d'un point, /^=: o sera l'équation de la surface sur laquelle le point (.r, y, z) est situé. Alors, d'après Uîs notations précédentes, la proportion

représentera les équations de la normale à la surf cce {/= o)

( * ) Ce théorème a clé établi pour la première iois par Plûcker ( S^yst. dcr Analyt. Gcom., p. 26/|). La dcmonslratioii que nous donnons ici est due a Hesse {loc. cit.). Jacobi a donne une autre démonstration {Journal dr Crclle, t. \L, p. jj'iV

APPLICATIONS DES DÉTERMINAKTS. l Sp

pour le point (x, y, 2) , et Tou pourra remplacer ces équations par

Les normales à la surface (y^=o), menées aux points [x, y, z) et [x -h dx,y -4- dy, z-\- dz)^ ne se coupent pas en général, mais seulement dans le cas où le second de ces points est situé sur une des lignes de courbure passant par le point (x, r, z). Leur intersection (^>t^,(^) est le centre de courbure d'une des sections principales de la surface faites au point (x, /, z). En diflereniiant les équations précédentes, on trouve dans ce cas

( .r — H ) c/ A -)- À dx = df, , elc. ,

ou encore

/, -:— =: df^ — ), dx ,

df, — /. dy ,

/<-T^' = df. — '^^dz.

et [)ar conséijuent (§ IX, 3

/ df dx f df dy f df dz

Celle équation diflérentielle, jointe avec 1 é(juaiioii dillerenliellf de la surface donnée,

/; dx -h/, dy -t- f dz =■ o,

(Iclerminc la ligne de loiirbuic passant au point {x, > , z) et sur laquelle est situé le point (.r ^dx. r -hc/i , ^ -hr/r).

l4o SECOWDK l'AUTlE, ^ M\

Du sysLomc des équations

o = /, (l.r. -\-f, dy -h

./; -r- == (/ 1 — A ) dx +/,, dy -|-

f.dz, fv.dz,

/, dx ^ {/,, - A ) dy -f- /i:, dz ,

/: — = /3 .fr + /, dj- + (y- , - y W; ,

il résulte, pour déterminer À, ré(|uatiou

/; fr.: /.- A./;.

./; y;^ /.. ji.—i

Cette équation est du second degré, et À'^ y a, pour coefficient, — f] — fl — fl, tandis que le terme indépendant de 1 est

I^M (Icsignanl par //, X" les racines de cette équation, on a

En aj)pelant enfin p la dislance des points (ç, /i.ç ) (.r\ y., c), il vient

AP1'LI<;ATI0^S DES DÉTERMINAINÏS. l4l

Par conséquent, p a aussi deux valeurs p', p", telles que

V,"o'p" =fi +/l^f].

Les valeurs réciproques -r-> —-> sont d'ailleurs les cour-

P P bures des ligues de courbure passant par [x^y^ z) , ou des sections principales de la surface auxquelles elles sont tangentes. Le produit des courbures principales delà surface (/= o) au point [x,j^ z) est donc

pV~~(/'^+/'^^/w''

Si Ton désigne par u la fonction homogène des variables .Ti, Xs, 0:3, Zi, qui devient identique avec/ pour Xi,-= I, on a (4)

0 U^ Uj ":

t(^ ^f|| Il y. /(,.

«.. «,, llri U-,.

Il , U

Les points de la surface (/= o) ou (« = o) pour lesquels L ou i^ s'annulent, sont en général des points d'inflexion de la surface. Ils sont situés sur Fintersection des surfaces (/= o ou u = o) et (L = o ou 1^ = o). Or/ et // sont, par hypothèse, du degré m, tandis que v est du degré 4 (a?* — 2). Donc la ligne d'inflexion d'une surface du degré ni est située en même temps sur une surface déterminée du degré /\ [m — 2 ) [*).

7. Des identités données au n" 4, Jacobi (**) , à l'occasion d'une proposition qui lui avait été communiquée par Hesse, a développé le système suivant d'identités relatives

(*) Hesse, loc. cit.

{'*) Journal de Crellr. l. XI-, l'- ^^iS.

l42 SECONDE VAUTIE, ^\IV.

au tlélciniinaiil dont il a été plusieurs fois c[ueslion

On ad'ahord (§ IX, 1)

(I) vXi z={m— i) (a,,,- H, + . . . + a„,,- ;/„) ,

ot-^ = ai,^i désignant, comme ci-dessus, le coefficient de u^ i = Mji,, dans t^. En différentiant cette identité par rapport à r, ou à Xf, , et posant, pour abréger, du

il vient

:ii]

ii',Xi= (/«— i) [

(l a,,, dx,

dxj

du„ ,

puisqu'on a (§ III, 1 )

Par une nouvelle dilTérentiation des identités trouvées, et en posant

d.r.jf dXi

— Vl<.H

on trouve